Figure principali - Figure secondarie - Poligoni regolari

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CONTENUTO DELLA PAGINA
I poligoni regolari
Formulario
Triangolo ♦ Quadrato ♦ Pentagono ♦ Esagono
Ettagono ♦ Ottagono ♦ Ennagono ♦ Decagono
Dodecagono ♦ Icosagono

I poligoni regolari

Un poligono avente tutti i suoi lati e tutti i suoi angoli interni congruenti tra loro è detto regolare; ogni poligono regolare gode delle seguenti proprietà:

• ha tutti gli angoli esterni congruenti;
• ha gli angoli esterni congruenti agli angoli al centro;
• ha tutte le apoteme congruenti;
• ha tutti i raggi congruenti;
• è inscrivibile in una circonferenza;
• è circoscrivibile in una circonferenza;

I poligoni regolari sono figure molto particolari, che riccorrono spesso sia nei problemi scolastici, sia nella vita quotidiana, soprattutto nelle opere artistiche.

Una scorciatoia aritmetica per il calcolo dell'apotema e dell'area di poligoni regolari sono i numeri fissi: ogni poligono regolare possiede due numeri fissi, che qui indichiamo con λ_n e φ_n: sono valori costanti, conoscendo i quali possiamo calcolare apotema e area partendo dalla lunghezza ℓ del lato (vedi le regole di seguito).

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Formulario

Di seguito sono elencati sinteticamente i principali poligoni regolari, con le loro caratteristiche.
Ecco le principali caratteristiche di un generico poligono regolare:

In generale, valgono le seguenti formule per calcolare le caratteristiche di un poligono regolare:

Applicando tali formule ad ogni poligono regolare, ottemiamo valori e formule personalizzate, per ogni figura; vediamo ora una classificazione dei principali poligoni regolari aventi lato ℓ assegnato.

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TRIANGOLO EQUILATERO

n   =   3 ω   =   120° α   =   60° λ3   =   0,289… φ3   =   0,433… a   =   ⅙ ℓ √3 r   =   ⅓ ℓ √3 h   =   ½ ℓ √3 nd   =   0 2p   =   3ℓ A   =   ¼ ℓ² √3

QUADRATO

n   =   4 ω   =   90° α   =   90° λ4   =   0,5 φ4   =   1 a   =   ½ ℓ r   =   ½ ℓ √2 h   =   ℓ nd   =   2 d   =   ℓ √2 A   =   ℓ²

PENTAGONO REGOLARE

n   =   5 ω   =   72° α   =   108° λ5   =   0,688… φ5   =   1,720… a   =   ℓ √(5 + 2√5) / 20 r   =   ℓ √(5 + √5) / 10 h   =   a + r   =   ℓ √(5 + 2√5) / 2 nd   =   5 d   =   ½ ℓ (1 + √5) A   =   ¼ ℓ² √(25 + 10√5)

ESAGONO REGOLARE

n   =   6 ω   =   60° α   =   120° λ6   =   0,866… φ6   =   2,598… a   =   ½ ℓ √3 r   =   ℓ h   =   2 a   =   ℓ √3 nd   =   9   [3 maggiori] d   =   2 r   =  2 ℓ d1   =   ℓ √3 A   =   ½ ℓ² 3√3

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ETTAGONO REGOLARE

n   =   7 ω   =   51° 25' 43" α   =   128° 34' 17" λ7   =   1,038… φ7   =   3,634… a   =   ½ ℓ cotg (180°/7) r   =   ½ ℓ cosec (180°/7) h   =   a + r   nd   =   14   [7 maggiori] d   =   √¼ ℓ² + h² A   =   7 ℓ² cotg (180°/n) / 4

OTTAGONO REGOLARE

n   =   8 ω   =   45° α   =   135° λ8   =   1,207… φ8   =   4,828… a   =   ½ ℓ (1 + √2) r   =   ½ ℓ √(4 + 2√2) h   =   2 a   =   ℓ (1 + √2) nd   =   20   [4 maggiori] d   =   2 r   =   ℓ √(4 + 2√2) d1   =   2 a   =   ℓ (1 + √2) d2   =   ℓ √(2 + √2) A   =   2 ℓ² (1 + √2)

ENNAGONO REGOLARE

n   =   9 ω   =   40° α   =   140° λ9   =   1,374… φ9   =   6,182… a   =   ½ ℓ cotg (20°) r   =   ½ ℓ cosec (20°) h   =   a + r   n9   =   27   [9 maggiori] d   =   √¼ ℓ² + h² A   =   9 ℓ² cotg (20°) / 4

DECAGONO REGOLARE

n   =   10 ω   =   36° α   =   144° λ10   =   1,539… φ10   =   7,694… a   =   ½ ℓ √(5 + 2√5) r   =   ½ ℓ (1 + √5) h   =   2 a   =   ℓ √(5 + 2√5) nd   =   35   [5 maggiori] d   =   2 r   =   ℓ (1 + √5) A   =   5 ℓ² √(5 + 2√5) / 2

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DODECAGONO REGOLARE

n   =   12 ω   =   30° α   =   150° λ12   =   1,866… φ12   =   11,196… a   =   ½ ℓ (2 + √3) r   =   ½ ℓ (√2 + √6) h   =   2 a   =   ℓ (2 + √3) nd   =   54   [6 maggiori] d   =   2 r   =   ℓ (√2 + √6) A   =   3 ℓ² (2 + √3)

ICOSAGONO REGOLARE

n   =   20 ω   =   18° α   =   162° λ20   =   3,157… φ20   =   31,569… a   =   ½ ℓ cotg (9°) r   =   ½ ℓ cosec (9°) h   =   2 a   =   ℓ cotg (9°) nd   =   170   [10 maggiori] d   =   2 r   =   ℓ cosec (9°) A   =   5 ℓ² cotg (9°)

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