La bisettrice di un angolo è una semiretta che parte dal vertice dell'angolo, dividendolo in due angoli congruenti.
Da ogni vertice partono 4 bisettrici (a due a due adiacenti e opposte). In un triangolo per bisettrice interna si intende la bisettrice di un angolo interno al triangolo, per la precisione il segmento di bisettrice che unisce il vertice al lato opposto.
Per bisettrice esterna si intende la bisettrice dell'angolo esterno, in particolare ciascuno dei due segmenti di bisettrice che uniscono il vertice con i prolungamento dei lati opposti.
Proprietà
La bisettrice di un angolo è il luogo dei punti equidistanti dai due lati dell'angolo.
Un triangolo possiede tre bisettrici interne, e sei bisettrici esterne (poste su tre rette).
Ogni bisettrice interna è perpendicolare alle relative bisettrici esterne.
Ogni bisettrice interna divide il lato opposto in due segmenti proporzionali ai restanti due lati del triangolo.
Le tre bisettrici esterne, prolungate, formano un triangolo circoscritto le cui altezze corrispondono alle bisettrici interne del triangolo iniziale.
L'incentro di un triangolo è il punto d'incontro delle 3 bisettrici interne.
Figura 4
In figura 4 è disegnato un esempio di triangolo ottusangolo con le tre bisettrici e l'incentro.
L'incentro è sempre interno al triangolo. Inoltre è l'unico punto ad esser equidistante dai tre lati del triangolo; per questo coincide con il centro della circonferenza inscritta al triangolo (da qui il suo nome).
La lunghezza del raggio della circonferenza inscritta al triangolo è uguale al rapporto tra l'area del triangolo e il semiperimetro:
L'asse di un segmento è una retta perpedicolare al segmento,
passante per il suo punto medio.
Proprietà
L'asse è il luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento.
Ogni triangolo possiede 3 assi (uno per ogni lato) che lo attraversano.
Il circocentro di un triangolo è il punto d'intersezione dei 3 assi.
Il circocentro è interno nei triangoli acutangoli, esterno in quelli ottusangoli, mentre nei triangoli rettangoli coincide col punto medio dell'ipotenusa.
Figura 5
Nella figura 5 è rappresentato un triangolo ottusangolo con i 3 assi e il circocentro, esterno al triangolo.
Il circocentro è l'unico punto ad esser equidistante dai tre vertici del triangolo; per questo coincide con il centro della circonferenza circoscritta al triangolo (da qui il suo nome).
La lunghezza del raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo è uguale al rapporto tra il prodotto dei tre lati e il quadruplo dell'area del triangolo:
R =
abc
4A
Osserviamo che, unendo il circocentro con due qualunque vertici del triangolo, si ottiene un triangolo isoscele.
