Un triangolo rettangolo è un triangolo avente un angolo retto, ossia di 90°.
Poiché la somma totale degli angoli di un triangolo è un angolo piatto, 180°, ne segue che la somma degli angoli rimantenti è 90°; di conseguenza gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono tra loro complementari.
I triangoli rettangoli hanno svariate proprietà che li rendono triangoli molto particolari e soprattutto molto utili nello studio della geometria e della fisica.
1° CRITERIO DI CONGRUENZA
Due triangoli rettangoli che hanno rispettivamente congruenti 2 cateti, sono congruenti.
2° CRITERIO DI CONGRUENZA
Due triangoli rettangoli che hanno rispettivamente congruenti 1 angolo acuto e il cateto adiacente, sono congruenti.
2° CRITERIO DI CONGRUENZA (alternativo)
Due triangoli rettangoli che hanno rispettivamente congruenti 1 angolo acuto e il cateto opposto, sono congruenti.
3° CRITERIO DI CONGRUENZA
Due triangoli rettangoli che hanno rispettivamente congruenti 1 cateto e l'ipotenusa, sono congruenti.
Due poligoni sono equiscomponibili se sono formati dall'unione di poligoni congruenti.
Sono detti equivalenti se la misura della loro area coincide.
Se due figure sono equiscomponibili allora sono anche equivalenti, tuttavia non sempre vale il contrario: esistono figure che, nonostante non siano equiscomponibili, sono equivalenti.
Figura 10
Ad esempio è facile verificare che un triangolo sia equiscomponibile con un rettangolo avente per lati metà di un lato del triangolo e l'altezza relativa a quel lato.
In particolare un triangolo isoscele rettangolo è equiscomponibile ad un quadrato che ha i lati congruenti all'altezza del triangolo (vedi figura 10).
Per quanto riguarda i triangoli rettangoli in generale, un triangolo rettangolo è equiscomponibile ad un rettangolo che ha un lato congruente ad un cateti del triangolo, e l'altro lato congruente a metà dell'altro cateto.
Di conseguenza un rettangolo è equivalente a due triangoli rettangoli aventi per cateti i lati del rettangolo.
Utilizzando l'equiscomponibilità tra le figure piane, possiamo ricavare 3 importanti risultati sui triangoli rettangoli, in grado di offrirci prezione proprietà di queste figure.
Infatti per mezzo dell'equiscomponibilià è possibile ottenere teoremi di equivalenza fra le figure.
1° TEOREMA DI EUCLIDE
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per lati l'ipotenusa e la proiezione del cateto sull'ipotenusa.
TEOREMA DI PITAGORA
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti.
2° TEOREMA DI EUCLIDE
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per lati le 2 proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.
Figura 11
Nella figura 11 è mostrato il metodo con cui si possono dimostrare i primi due teoremi: si dimostra (per mezzo di alcuni passaggi intermedi...) che il quadratino rosso e il rettangolo rosso sono equivalenti (come afferma il primo teorema); analogamente si ripete il ragionamento per il quadratino verde ed il rettangolo verde.
Unenedo i due risultati abbiamo che la somma del quadratino rosso il quadratino verde è equivalente al quadrato rosso-verde (come afferma il secondo teorema).
Infine utilizzando il primo teorema di Euclide, e il teorema di Pitagora per un triangolino grigio interno (per mezzo di alcuni passaggi intermedi...) si può dimostrare anche il terzo teorema, ovvero il secondo teorema di Euclide.
Criteri di similitudine per i triangoli rettangoli
I criteri di similitudine, applicati ai triangoli rettangoli, si semplificano moltissimo:
1° CRITERIO DI SIMILITUDINE
Due triangoli rettangoli che hanno un angolo acuto congruente, sono simili.
2° CRITERIO DI SIMILITUDINE
Due triangoli rettangoli che hanno in proporzione 2 lati, sono simili.
3° CRITERIO DI SIMILITUDINE
Due triangoli rettangoli che hanno in proporzione 1 cateto e l'ipotenusa, sono simili.
Usado questi criteri è anche facile ridimostrare i 3 teoremi citati prima; infatti è sufficiente osservare che i triangoli rettangoli nella figura sono tutti simi tra loro, e riformulare i due teoremi di Euclide nel modo seguente:
1° TEOREMA DI EUCLIDE
In un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto sull'ipotenusa.
2° TEOREMA DI EUCLIDE
In un triangolo rettangolo l'altezza è media proporzionale tra le 2 proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.
e applicare la proporzione tra i lati simili dei triangoli presenti: per il primo teorema si prendono in considerazione il triangolo di partenza un triangolino interno, per il secondo teorema i 2 triangolini interni.
I triangoli rettangoli hanno importantissime applicazioni in trigonometria; in particolare la trigonometria fornisce molti utili risultati (teoremi e proprietà) per lo studio dei triangoli.
