Esempio 7. A quale velocità cade una palla di 500g, se lasciata cadere da un'altezza di 20,0m? Trascuriamo l'attrito dell'aria.

Dati:
Massa: m = 500g ⇒ 0,500kg
Altezza: h = 20,0m
Velocità iniz.: v_i = 0m/s
Accel. di gravità: g = 9,81m/s²
Velocità finale: v_f = incognita.

Soluzione: tale problema può esser risolto con lo studio del moto uniformemente accelerato in caduta libera, ma se usiamo la conservazione dell'energia impieghiamo meno calcoli; infatti l'unica forza agente è il peso, che è una forza conservativa. Analizziamo le energie iniziali e finali (possiamo trascurare l'en. potenziale elastica, in quanto non ci sono forze elastiche che agiscono):

• K_i = ½ m v_f² = 0 (il corpo è fermo)
• U_{G i} = m g h_i
• K_f = ½ m v_f²
• U_{G f} = m g h_f = 0 (il corpo arriva al suolo)

Applicando la conservazione dell'energia:

K _i + U_{G i} = K _f + U_{G f}

0 + m g h_i = ½ m v_f² + 0

Osserviamo che, essendo un'equazione, possiamo dividere ogni termine semplificando le masse: questo ci dice che la massa del corpo non influenza (in assenza di attrito) la velocità di caduta.

g h_i = ½ v_f²

Risolvendo l'equazione otteniamo:

v_f² = 2 g h_i

v_f² = 2 · (9,81m/s²) · (20,0m) = 392m²/s²

v_f = 19,8m/s

Conclusione: la palla atterra al suolo con una velocità di 19,8m/s²

Esempio 8. Un dado di 15,0g si trova alla base di un piano inclinato che forma un angolo di 30,0° rispetto al suolo. Il dado è collegata ad una molla di costante elastica 100N/m e compressa di 4,00cm, che viene fatta scattare, lasciando il dado su per il piano inclinato. Sapendo che il dado si ferma ad un'altezza di 30,0cm dal suolo, calcolare il coefficiente di attrito dinamico μ tra il piano e il dado.

Dati:
Massa: m = 15,0g   ⇒   0,0150kg
Altezza iniziale: h_i = 0m
Velocità iniz.: v_i = 0m/s
Costante elastica: k = 100N/m
Deformazione: s = 4,00cm ⇒ 0,0400m
Accel. di gravità: g = 9,81m/s²
Velocità finale: v_f = 0m/s
Inclinazione: α = 30,0°
Altezza finale: h_f = 30,0cm ⇒ 0,300m
Coeff. d'attrito: μ = incognita.

Soluzione: Osserviamo che, dal momento che la velocità iniziale e quella finale sono nulle, l'energia cinetica non varia.

Situazione energenica iniziale:

• K_i = ½ m v_i² = 0J (il corpo è fermo)
• U_{G i} = m g h_i = 0J (il corpo parte dal suolo)
• U_{E i} = ½ k s² = 0,5 · (100N/m) · (0,0400m)² = 0,0800J
• Quindi E_i = 0,0800J

Situazione energenica finale:

• K_f = ½ m v_f² = 0J (il corpo è di nuovo fermo)
• U_{G f} = m g h_f = (0,0150kg) · (9,81m/s²) · (0,300m) = 0,0441J
• U_{E i} = ½ k s² = 0J (la molla non è più deformata)
• Quindi E_f = 0,0441J

L'energia meccanica non si conserva: E_i = 0,08J mentre E_f = 0,0441J; c'è stata una diminuzione di 0,0359J.

Che fine ha fatto questa energia? È stata dissipata dal lavoro delle forze non conservative, nel nostro caso l'attrito:

W_NC = F_A · ℓ

W_NC = μ · F_⊥ · ℓ

Per individuare tale lavoro, partiamo dalla forza premente: in questo caso è la componente perpendicolare della forza peso (il piano non è orizzontale):

F_⊥ = F_P cos(α) = m g cos(α)

Lo spostamento è la lunghezza ℓ percorsa dal dado lungo il piano, durante il quale ha agito la forza di attrito:

ℓ = h ∶ sen(α) = (0,300m) ∶ (0,5) = 0,600m

Di conseguenza il lavoro della forza d'attrito vale:

W_NC = μ · (0,0150kg) · (9,81m/s²) · 0,866 · (0,6m)

W_NC = μ · (0,0765J)

Uguagliamo infine il lavoro della forza di attrito con la variazione di energia meccanica, per ricavare il coefficiente μ:

μ · (0,0765J) = 0,0359J

μ = (0,0359J) ∶ (0,0765J) = 0,469

Conclusione: il coefficiente di attrito tra la bilgia e la superficie è 0,469.