|
★ ★ ☆
<<< Precedente -
Successivo >>>
CONTENUTO DELLA PAGINA
Punti e corpi
Momento meccanico
Momento angolare
Punti e corpi
Normalmente i problemi di fisica hanno come soggetto di studio il punto materiale che, come abbiamo visto in Cinematica, è utilizzato per rappresentare un oggetto di dimensioni e forma trascurabili nel contesto del problema analizzato: del punto materiale co interessa la sua posizione e il suo moto rispetto al sistema di riferimento fissato: ad esempio una palla lanciata in un campo, un oggetto che cade da un'altezza elevata, un auto lungo un'autostrada sono esempi di corpi che possiamo considerare punti materiali.
Il punto materiale è di fatto un punto geometrico, che si può muovere nello spazio circostante; nello studio della dinamica possiamo anche caratterizzare il punto materiale con una propria massa, se questa non è trascurabile.
Con il termine corpo rigido indichiamo invece un corpo esteso, che abbia forma e dimensioni ben definite, rilevanti nel contesto del problema: ad esempio un ballerino che ruota su se stesso, un divano che viene spostato da una persona, una pila di libri poggiati su un tavolo sono esempi in cui è conveniente considerare anche forma e dimensione dei soggetti coinvolti, quindi vederli come corpi rigidi.
Il moto di un corpo rigido è più complesso del moto di un punto materiale, infatti quest'ultimo può solo muoversi traslando, mentre un corpo rigido può muoversi sia traslando, sia ruotando su se stesso.
In queste pagine ci soffermiamo nello studiare la rotazione, analizzando sia il caso dei punti materiali, sia dei corpi rigidi.
^
Torna su
L'effetto delle forze
Per far ruotare un oggetto, dobbiamo spingerlo (o tirarlo) per uno dei suoi estremi; se lo spingiamo (o tiriamo) al centro è difficile che ruoti, soprattutto se ha una massa uniforme (provare per credere!)
|
Se un oggetto non ha vincoli, ruota sempre attorno al suo centro di massa, il suo baricentro.
|
Se al contrario è presente un vincolo che lo fissa in un punto, l'oggetto può ruotare intorno tale punto: ad esempio una porta è vincolata a ruotare intorno ad un suo lato, essendo bloccata al muro dai suoi cardini.
In generale quindi, quando ci interessa produrre una rotazione, è importante non solo la forza che imprimiamo, ma anche dove la imprimiamo, e questo dipende da dove si trova il punto o l'asse di rotazione dell'oggetto e da quale punto applichiamo la forza.
|
Ogni forza avente per direzione una retta passante per il centro di rotazione, non produce rotazione; al contrario se la direzione di una forza non passa per il centro di rotazione, tale forza può provocare una rotazione dell'oggetto.
|
Sappiamo che la forza può modificare lo stato di un corpo; in particolare, la forza può modificare in modo diretto la velocità di un corpo; inoltre in modo indiretto, la forza può produrre o modificare una rotazione, ma questo non sempre avviene… Se per esempio voglio ruotare un divano devo:
- spingerlo da uno dei suoi estremi (di sicuro non al centro);
- spingerlo con una direzione il più possibile perpendicolare al divano.
Se lo spingo dal centro o nella direzione della lunghezza del divano, esso non ruota, ma si sposta solamente!
Lo strumento principale per studiare la rotazione dei corpi è il momento: fissato un centro di riferimento, ogni vettore possiede il proprio momento rispetto a tale centro; possiamo definire il momento di un vettore come il prodotto vettoriale tra il raggio e il vettore stesso (per approfondimenti vedi la pagina del momento di un vettore); in queste pagine ci occuperemo di due momenti fondamentali:
- il momento della forza, chiamato momento meccanico
- il momento della quantità di moto, chiamato momento angolare
Infine c'è il momento d'inerzia che, a dispetto del nome, non è un vero e proprio momento, non essendo un vettore: esso è collegato alla massa.
^
Torna su
Il momento meccanico
Ricordiamo che il raggio-vettore (r), o semplicemente raggio è il vettore collega il centro di rotazione con il punto di applicazione del vettore; analogamente il braccio (b) è il vettore-distanza tra il centro di rotazione e la direzione del vettore: nel nostro caso, il vettore è la forza.
Definiamo quindi il momento legato al vettore forza:
|
Il momento di una forza si chiama momento meccanico (M).
|
Ricordiamo che il momento, poiché definito dal prodotto vettoriale, possiede le seguenti caratteristiche:
- la direzione è perpendicolare al piano su cui avviene la rotazione;
- il verso è uscente dal piano se la spinta avviene in senso antiorario, entrante se in senso orario;
- il modulo è dato dalla formula:
Essendo α l'angolo tra il raggio e la forza, e il braccio b corrisponde ad r⊥, la componente di r perpendicolare a F.
Osserviamo che, a parità di forza, maggiore è il braccio della forza, più efficacie sarà la rotazione;è importante anche l'angolo che si forma tra il raggio-vettore e la forza: se ad esempio raggio e forza sono allineati, il braccio è nullo e non si produrrà rotazione.
|
Affinché una forza produca una rotazione, è necessario che il suo momento rispetto al centro di rotazione non sia nullo.
|
Osservazione: il momento meccanico si misura in Newton per metri (N·m); tale unità di misura corrisponderebbe al Joule: di fatto il momento meccanico è dimensionalmente uguale al lavoro e all'energia; tuttavia il momento meccanico è molto diverso da queste ultime due grandezze (per esempio, come prima cosa, il momento meccanico è una grandezza vettoriale, mentre lavoro ed energia sono scalari), per questo motivo come unità di misura del momento meccanico si tiene il Newton per metro e non il Joule.
In generale se si applica un momento meccanico ad un corpo fermo, esso può iniziare a ruotare; al contrario se si applica ad un corpo in rotazione esso può aumentare o diminuire la velocità di rotazione.
|
Come una forza può modificare la velocità di un corpo, similmente il momento meccanico può modificare la velocità di rotazione di un corpo.
|
In particolare il momento meccanico influenza la velocità angolare di un corpo.
|
Esempio 1. Calcoliamo il modulo del momento di una forza F di 8,0N che agisce su una sbarra di 2,0m di lunghezza, nelle seguenti condizioni:
- applicata al centro della sbarra, con un angolo di 20° rispetto alla sbarra.
- applicata a 20 cm da un estremo, perpendicolarmente alla sbarra.
- applicata ad un estremo, con un angolo di 60° rispetto alla sbarra.
(Supponiamo che il centro di massa si trovi al centro della sbarra e che la sbarra non abbia vincoli)
Primo caso.
Se applichiamo la forza al centro della sbarra il raggio e il braccio valgono zero, perchà il centro della sbarra coincide con il centro di massa che in questo caso è il punto in cui la sbarra ruota; per cui il momento in questo caso è zero.
M₁ = 0,0N·m
Secondo caso.
Se ci troviamo a 20cm da un estremo allora siamo a 80cm dal centro, quindi il raggio è r = 0,80m. Inoltre l'angolo tra il raggio e la forza è di 90°, e sen(90°) = 1,0. Di conseguenza:.
M₂ = r · F · sen (90°) =
= (0,80m) · (8,0N) · 1,0 = 6,4N·m
Terzo caso.
Se ci troviamo in un estremo allora il raggio è r = 1,0m. L'angolo tra il raggio e la forza è di 60°, e sen(60°) ≈ 0,87. Di conseguenza:
M₃ = r · F · sen (60°) ≈
≈ (1,0m) · (8,0N) · 0,87 ≈ 7,0N·m
|
^
Torna su
Il momento angolare
Una delle grandezze più utili per lo studio della rotazione dei corpi (sia punti materiali che corpi rigidi) è il momento angolare, così definito:
|
Il momento angolare (L) di un punto materiale è il momento della sua quantità di moto.
|
Essendo p = m·v la quantità di moto ed r il raggio-vettore di p rispetto al centro.
Il momento angolare è quindi una grandezza vettoriale, che descrive lo stato di rotazione di un corpo: ci fornisce un'istantanea della sua situazione rotazionale; questa grandezza ha modulo, direzione e verso definiti dalla regola del prodotto vettoriale, ossia:
- la direzione è perpendicolare al piano su cui avviene la rotazione;
- il verso è uscente dal piano se la rotazione è antioraria, entrante se è oraria;
- il modulo è dato dalla formula:
Essendo α l'angolo tra le direzioni di r e di p, mentre b è il braccio, che corrisponde ad r⊥, la componente di r perpendicolare a p.
Dalla definizione si deduce che il momento angolare si misura in chilogrammi per metri quadri al secondo (kg·m²/s).
|
Esempio 2. Calcoliamo il modulo del momento angolare della Terra rispetto al Sole.
Il nostro centro di riferimento il punto centro del Sole; il raggio corrisponde quindi alla distanza Terra-Sole.
Dati:
Massa della Terra: m ≈ 5,97 × 1024kg
Distanza Terra-Sole: r ≈ 1,50 × 1011m
Periodo di rivoluz.: T = 1 anno ≈ 3,15 × 107s.
Soluzione: Per prima cosa calcoliamo la velocità della terra, nel suo moto intorno al sole, approssimando la Terra ad un punto materiale e la sua traiettoria ad una circonferenza e usando le formule del moto circolare uniforme:
v = 2π·r ⁄ T =
= 6,28 · (1,50 × 1011m) ∶ (3,15 × 107s) =
= (9,42 × 1011m) ∶ (3,15 × 107s) =
= 2,99 × 104m/s
Essendo un moto circolare, il raggio e la velocità sono perpendicolari, per cui α = 90° e il raggio coincide con il braccio.
Calcoliamo quindi il modulo del momento angolare, usando la definizione:
L = b·p = b·m·v =
= (1,50 × 1011m) · (5,97 × 1024kg) · (2,99 × 104m/s) =
= 26,8 × 1039 kg·m²/s
Conclusione: Il momento angolare della Terra rispetto al Sole ha un modulo pari a 2,68 × 1040 kg·m²/s.
Osserviazione: In questi calcoli abbiamo fatto alcuni approssimazioni da non sottovalutare: per prima cosa la Terra non è un punto materiale, ma un corpo rigido, avente un proprio momento di inerzia e un proprio momento angolare (di rotazione su se stessa); inoltre la sua traiettoria non è perfettamente circolare, per cui il momento angolare non è costante, ma dipende dalla distanza dal Sole. Per questo motivo il risultato ottenuto non corrisponde esattamente a quello reale.
|
Nel caso di un sistema costituito da diversi punti materiali, ognuno con la sua massa e la sua posizione, allora il momento angolare del sistema è ottenuto dalla somma vettoriale dei singoli momenti angolari:
^
Torna su
<<< Precedente -
Successivo >>>
|