Introduzione - Grafici delle funzioni - Tavola goniometrica

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CONTENUTO DELLA PAGINA
Grafici delle funzioni goniometriche
Grafici di seno e coseno
Grafici di tangente e cotangente
Grafici di secante e cosecante

Grafici delle funzioni goniometriche

Ecco i grafici delle funzioni goniometriche rappresentate nel piano cartesiano.

L'asse x è misurato in radianti (π è la costante di Archimede, vale circa 3,14) e i valori sono calcolati anche per gli angoli negativi e per gli angoli maggiori di 2π.

Grafici di seno e coseno

y = sen(x)	y = cos(x)

Il grafico del seno è chiamato sinusoide, mentre quello del coseno è chiamato cosinusoide.
Dalla definizione analitica si ha che:

sen:   ℝ   →   [−1; +1]

cos:   ℝ   →   [−1; +1]

Ossia il seno e il coseno sono funzioni tali che:

• il Dominio (l'insieme delle x ammissibili) è tutto l'insieme ℝ dei numeri reali;
• le immagini (i valori della funzione) sono compresi tra −1 e +1.

Inoltre, osservando i grafici, si può notare che entrambe le funzioni:

• sono limitate: le immagini infatti non possono esser minori di −1 o maggiori di +1;
• sono periodiche di periodo 2π: riassumono gli stessi valori ogni 2π radianti;
• sono continue: il grafico non si interrompe mai.

I due grafici sono congruenti: hanno la stessa forma, ma la cosinusoide è traslata di π/2 a sinistra rispetto alla sinusoide; questo infatti perché:

cos(α) = sen (α + π/2)

o analogamente la cosinusoide è simmetrica rispetto alla sinusoide, con asse x = π/4; questo infatti perché:

cos(α) = sen (π/2 − α)

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Grafici di tangente e cotangente

y = tan(x)	y = cot(x)

Il grafico della tangente è chiamato tangentoide, mentre quello della cotangente è chiamato cotangente.
Dalla definizione analitica si ha che:

tan:   ℝ − {π/2 + kπ}   →   ℝ

cot:   ℝ − {kπ}   →   ℝ

Infatti queste funzioni sono tali che:

• il Dominio della tangente è tutto l'insieme ℝ tranne gli angoli π/2 + kπ;
• il Dominio della cotangente è tutto l'insieme ℝ tranne gli angoli kπ;
• l'insieme delle immagini è tutto l'insieme ℝ dei numeri reali;

Inoltre, dai grafici, si può osservare che entrambe le funzioni:

• sono illimitate: infatti le immagini possono assumere qualunque valore;
• sono periodiche di periodo π: riassumono gli stessi valori ogni π radianti;
• sono discontinue: il grafico si interrompe ogni π radianti; questo perché sia la tangente che la cotangente non sono definite per determinati angoli, come visto nel Dominio.

I due grafici sono congruenti: hanno la stessa forma, ma la cotangente è simmetrica rispetto alla tangentoide, con asse x = π/4; questo infatti perché:

cot(α) = tan (π/2 − α)

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Grafici di secante e cosecante

y = sec(x)	y = cosec(x)

Dalla definizione analitica si ha che:

sec:   ℝ − {π/2 + kπ}   →   (−∞; −1] ∪ [+1; +∞)

cosec:   ℝ − {kπ}   →   (−∞; −1] ∪ [+1; +∞)

Quindi la secante e la cosecante sono funzioni tali che:

• il Dominio della secante è tutto l'insieme ℝ tranne gli angoli π/2 + kπ;
• il Dominio della cosecante è tutto l'insieme ℝ tranne gli angoli kπ;
• l'insieme delle immagini è tutto l'insieme ℝ tranne i valori interni tra −1 e +1;

Il grafico della secante e quello della cosecante hanno le seguenti caratteristiche:

• sono illimitate: infatti le immagini (y) possono assumere qualunque valore minore di −1 e maggiore di +1;
• sono periodiche di periodo 2π: riassumono gli stessi valori ogni 2π radianti;
• sono discontinue: il grafico si interrompe ogni 2π radianti; questo perché non sono definite per determinati angoli, come visto nel Dominio.

I due grafici sono congruenti: hanno la stessa forma, ma la secante è simmetrica rispetto alla cosecante, con asse x = π/4; questo infatti perché:

cosec(α) = sec (π/2 − α)

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