Le funzioni goniometriche sono funzioni che associano ad un angolo un valore numerico reale. Le funzioni più importanti sono: il seno, il coseno e la tangente; a queste si affiancano altre funzioni, reciproche delle precedenti: la cosecante, la secante e la cotangente.
Ogni funzione goniometrica può esser definita in due modi equivalenti:
per mezzo di una definizione geometrica, partendo dai triangoli rettangoli;
per mezzo di una definizione analitica, sfruttando le proprietà del piano cartesiano.
Per questo motivo le funzioni goniometriche godono di svariate proprietà che discendono sia dalla geometria sintetica (quella tradizionale), sia dalla geometria analitica (quella del piano cartesiano).
Attenzione: può accadere che alcuni simboli non siano visualizzati correttamente, leggi le info alla sezione compatibilità.
Seno e coseno
Sono due le funzioni fondamentali goniometriche di un angolo: il seno e il coseno; esse ci forniscono informazioni utili per identificare l'angolo. Storicamente sono stati introdotti per studiare in modo veloce triangoli rettangoli, in quanto la loro prima definizione, risalente alle antiche grandi civiltà, fu:
Il seno di un angolo acuto è il rapporto tra il cateto opposto all'angolo e l'ipotenusa.
Il coseno di un angolo acuto è il rapporto tra il cateto adiacente all'angolo e l'ipotenusa.
Tuttavia è possibile definirli più semplicemente, in modo analitico: con riferimeto alla figura 1, rappresentante la circonferenza goniometrica, definiamo:
Figura 1
il seno di α è l'ordinata del punto P (segmenti PH o OK);
il coseno di α è l'ascissa del punto P (segmenti PK o OH).
Le funzioni seno e coseno associano quindi ad ogni angolo un valore numerico, corrispondente alle coordinate del punto P.
Il seno di un angolo α si indica con sen(α), o sin(α); il coseno di α si indica con cos(α).
Per conoscere i valori di seno e coseno relativi ad alcuni angoli, consulta la pagina con la tavola goniometrica.
Dalle definizioni seguono alcune proprietà del seno del il coseno:
sono definiti su tutti i numeri reali: ogni numero può esser visto come la misura in radianti di un angolo, e ogni angolo possiede un valore di seno e di coseno;
come valori assumono numeri puri, non hanno unità di misura, in quanto coordinate di P;
hanno valore limitato: il risultato è sempre compreso tra −1 e +1;
sono funzioni periodiche, di periodo 2π: il valore del seno (e del coseno) resta invariato se aggiungiamo o sottraiamo un qualunque giro all'angolo di partenza: per qualunque k intero
sen(α + k2π) = sen(α)
cos(α + k2π) = cos(α)
dal teorema di Pitagora e dal fatto che il raggio è unitario, segue la prima relazione fondamentale della trigonometria, valida per ogni angolo α:
La tangente e la cotangente sono funzioni secondarie di un angolo, introdotte storicamente per studiare i triangoli rettangoli, nel seguente modo:
la tangente di un angolo acuto è il rapporto tra il cateto opposto all'angolo e il cateto adiacente;
la cotangente di un angolo acuto è il rapporto tra il cateto adiacente all'angolo e il cateto opposto.
Seguendo la via analitica, con riferimeto alla figura 2, possiamo definirli:
Figura 2
la tangente di α è la lunghezza del segmento QA, staccato dall'angolo α sulla tangente in A alla circonferenza;
la cotangente di α è la lunghezza del segmento TB, staccato dal complementare dell'angolo α sulla tangente in B alla circonferenza;
La funzione tangente di α si indica con tan(α), o tg(α); la cotangente di α si indica con cot(α) o ctg(α).
Per conoscere i valori di tangente e cotangente relativi ad alcuni angoli, consulta la pagina con la tavola goniometrica.
Ecco alcune proprietà di queste funzioni:
sono funzioni non definite su tutto ℝ:
la tangente è una funzione non definita per gli angoli di ampiezza π ⁄ 2, 3π ⁄ 2; e corrispondenti;
la cotangente è una funzione non definita per gli angoli di ampiezza 0, π e corrispondenti;
assumono anch'esse numeri puri, non hanno unità di misura;
hanno valore illimitato (i risultati possono esser un qualunque numero reale);
sono funzioni periodiche, di periodo π: il valore della tangente (e della cotangente) resta invariato se aggiungiamo o sottraiamo un qualunque mezzo giro all'angolo di partenza: per qualunque k intero
tan(α + kπ) = tan(α)
cot(α + k2π) = cot(α)
dalle similitudini tra triangoli rettangoli discendono queste importanti relazioni:
Ecco altre due funzioni di un angolo che spesso si studiano; per mezzo dei triangoli rettangoli possiamo introdurle così:
la secante di un angolo acuto è il rapporto tra l'ipotenusa e il cateto adiacente all'angolo;
la cosecante di un angolo acuto è il rapporto tra l'ipotenusa e il cateto opposto all'angolo.
Anche queste due funzioni si possono definire in modo più analitico: con riferimeto alla figura 3, definiamo:
Figura 3
la secante di α è l'ascissa del punto E (segmenti OE o OQ);
la cosecante di α è l'ordinata del punto D (segmenti OD o OT).
essendo DE la tangente alla circonferenza nel punto P. La funzione secante di un angolo α si indica con sec(α); la cosecante di α si indica con csc(α), o cosec(α).
Dalle definizioni seguono alcune proprietà:
sono funzioni non definite su tutto ℝ:
la secante è una funzione non definita per gli angoli di ampiezza π ⁄ 2 e 3π ⁄ 2;
la cosecante è una funzione non definita per gli angoli di ampiezza 0 e π;
secante e cosecante sono numeri puri, non hanno unità di misura;
il loro valore, in modulo, è sempre maggiore o uguale di 1;
sono funzioni periodiche, di periodo 2π: il valore della secante (e cosecante) resta invariato se aggiungiamo o sottraiamo un qualunque giro all'angolo di partenza: per qualunque k intero
sec(α + k2π) = sec(α)
csc(α + k2π) = csc(α)
dalla definizione (e dal primo teorema di Euclide) seguono le seguenti relazioni:
Le funzioni goniometriche non sono biunivoche, essendo periodiche; tuttavia possiamo imporre condizioni che limitino il Dominio, in modo tale che questa restrizione produca funzioni continue.
In questa situazione è possibile definire per ogni funzione una sua funzione inversa, ossia una funzione che ad un valore numerico associa un angolo: tali funzioni sono riconoscibili dal prefisso "arc-" che è presente nel loro nome, o per l'esponente ⁻¹, simbolo di ogni funzione inversa.
arcoseno
funzione inversa del seno
si indica con arcsin (oppure arcsen, sen⁻¹, sin⁻¹)
la x deve assumere valori compresi tra −1 e +1
la y che si ottiene è un angolo compreso in [−π/2; +π/2]
arcocoseno
funzione inversa del coseno
si indica con arccos (oppure cos⁻¹)
la x deve assumere valori compresi tra −1 e +1
la y che si ottiene è un angolo compreso in [0; +π]
arcotangente
funzione inversa della tangente
si indica con arctan (oppure arctg, tan⁻¹, tg⁻¹)
la x può assumere qualunque valore
la y che si ottiene è un angolo compreso in (−π/2; +π/2)
arcocotangente
funzione inversa della cotangente
si indica con arccotan (oppure arcctg, cot⁻¹, ctg⁻¹,)
la x può assumere qualunque valore
la y che si ottiene è un angolo compreso in (0; +π)
arcosecante
funzione inversa della secante
si indica con arcsec (oppure sec⁻¹)
la x deve assumere valori non compresi tra −1 e +1
la y che si ottiene è un angolo compreso in (0; +π), escluso π/2
arcocosecante
funzione inversa del secante
si indica con arccosec (oppure arccsc, cosec⁻¹, csc⁻¹)
la x deve assumere valori non compresi tra −1 e +1
la y che si ottiene è un angolo compreso in (−π/2; +π/2), escluso 0
