Dai criteri di congruenza fra triangoli si osserva che è sufficiente conoscere pochi elementi (lati o angoli) per determinare con precisione la forma del triangolo.
Figura 6
Grazie ai risultati trigonometrici sui triangoli rettangoli siamo in grado di calcolarci i vari elementi di un triangolo, partendo da quelli noti.
Possiamo infatti considerare un qualunque triangolo come in figura 6, e vederlo come l'unione di due triangoli rettangoli: disegnando un'altezza del triangolo, si osserva come questo risulta la composizione di due triangoli rettangoli adiacenti (vedi figura 7 in fondo).
Un primo risultato, valido per qualunque tipo di triangolo, è questo:
TEOREMA DELL'AREA DI UN TRIANGOLO
L'area di un triagolo equivale al semi-prodotto tra due lati per il seno dell'angolo compreso.
𝒜 = ½ b · c · sen (α)
Esempio 3.Quanto vale l'area di un triangolo scaleno, avente due lati di 12cm e 15cm, e l'angolo tra essi compreso di 30°?
Svolgimento. Applichiamo il teorema dell'area e svolgiamo i calcoli:
𝒜 = ½ b · c · sen (α)
𝒜 = ½ · 12cm · 15cm · sen (π/6)
𝒜 = 6cm · 15cm · ½
𝒜 = 3cm · 15cm
𝒜 = 45cm²
Conclusione: l'area del triagolo è 45cm².
Ricordiamo inoltre che l'area del triangolo qualunque è la metà dell'area di ogni parallelogramma avente stessa base e stessa altezza del triangolo, per cui otteniamo:
L'area di un parallelogramma equivale al prodotto tra due lati per il seno dell'angolo compreso.
Aparall = b · c · sen (α)
Di conseguenza questa formula è utile anche in fisica, in quanto l'area del parallelogramma equivale al modulo del prodotto vettoriale, se consideriamo la lunghezza dei lati b e c come il modulo dei due vettori che si devono moltiplicare e α l'angolo tra essi compreso.
Una conseguenza molto utile del Teorema della Corda, è il seguente risultato:
TEOREMA DI EULERO(O DEI SENI)
In ogni triangolo è costante il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto
e tale rapporto equivale alla lunghezza del diametro del cerchio circoscrtitto al triangolo.
a
sen(α)
=
b
sen(β)
=
c
sen(γ)
= 2R
Infatti queste non sono altro che le formule inverse del teorema della corda, applicato a ciascuno dei tre lati del triangolo inscritto nella circonferenza
Se a questa formula si aggiunge la proprietà che la somma degli angoli interni di un triangolo è π (ovvero 180°), si capisce come sia sufficiente conoscere tre elementi qualunque tra lati e angoli (di cui almeno un lato) per poter ricavare tutti gli altri.
Esempio 4.Determiniamo il lato AB di un triangolo scaleno ABC, ottusangolo in C, sapendo che il lato AC è lungo 10cm, il lato BC è lungo 10√2cm e che l'angolo β è π/6.
Dati.
AC: b = 10cm
BC: a = 10√2cm
AB̂C: β = π/6
AB: c = incognita
Svolgimento. Osserviamo che abbiamo una coppia lato-angolo opposti, che sono b e β, per cui possiamo subito trovare il rapporto costante (ossia il diametro):
2R = b ∶ sen(β) = 10cm ∶ sen(π/6) =
= 10cm ∶ 1/2 = 20cm
Ora possiamo completare le coppie incomplete: conosciamo il lato a, ma non conosciamo α, quindi calcoliamo il seno di α, rigirando la formula:
2R = a ∶ sen(α)
⇓
sen(α) = a ∶ 2R
sen(α) = 10√2cm ∶ 20cm = √2/2
Quindi l'angolo α essendo acuto e avendo il seno che vale √2/2, è π4.
Per poter trovare il lato c richiesto, serve il seno del suo angolo opposto, ossia γ che non conosciamo; tuttavia possiamo trovarlo come differenza tra l'angolo piatto e i due angoli noti:
γ = π − α − β
γ = π − π/4 − π/6 = 7π/12
Possiamo ricavare il seno di γ per mezzo delle formula di addizione del seno, in quanto 7π/12 è la somma tra π/3 e π/4; svolgendo i calcoli si ottiene:
sen(γ) = (√2 + √6) / 4
Infine calcoliamo il lato c, partendo dal rapporto costante e rigirando la formula (riottenendo di fatto il teorema della corda):
2R = c ∶ sen(γ)
⇓
c = 2R · sen(γ)
c = 20cm · (√2 + √6) / 4
c = 5(√2 + √6)cm
Conclusione: il lato AB del triagolo è lungo 5(√2 + √6)cm.
In ogni triangolo il quadrato di ogni lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati, diminuita del doppio prodotto dei due lati per il coseno dell'angolo compreso.
a² = b² + c² − 2bc cos (α)
Figura 7
Per dimostrare questo teorema, si divide il triangolo iniziale in due triangoli rettangoli per mezzo dell'altezza h relativa al lato c, come in figura 7; successivamente si applica il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo avente a come ipotenusa, sostituendo ai due cateti (incogniti) il loro valore in funzione dell'angolo α, ossia:
l'altezza CH: h = b · sen (α);
la proiezione HB = AB − AH: ac = c − b · cos (α);
sostituendo questi valori e svolgendo i calcoli:
a² = h² + ac² =
= (b sen α)² + (c − b cos α)² =
= b² sen² α + c² + b² cos² α − 2bc cos α =
= b² (sen² α + cos² α) + c² − 2bc cos α =
= b² + c² − 2bc cos α
e quindi si ottiene il teorema di Carnot.
Osservazione: nel caso in cui α = π ⁄ 2 il triangolo è rettangolo e questa formula equivale a quella del Teorema di Pitagora: a² = b² + c²
Esempio 5.Calcoliamo il lato AB di un triangolo scaleno, sapendo che gli altri due lati sono lunghi AC = 6cm e BC = 8cm, e che l'angolo tra essi compreso è ampio γ = π/3.
Dati.
AC: b = 6cm
BC: a = 8cm
B̂CA: γ = π/3
AB: c = incognita
Svolgimento. In questo esempio non possiamo applicare il teorema dei seni, non conoscendo completamente nessuna coppia lato-angolo opposti; per questo ci viene in aiuto il teorema del coseno.
Applichiamo la formula e svolgiamo i passaggi:
c² = a² + b² − 2bc cos (γ)
c² = (6cm)² + (8cm)² − 2(6cm)(8cm) cos (π/3)
c² = 36cm² + 64cm² − 96cm² · 1/2
c² = 36cm² + 64cm² − 48cm²
c² = 52cm²
c = √52cm
c = 2√13cm
Conclusione: il lato AB del triagolo è lungo 2√13cm.
Da questo teorema otteniamo infine un metodo per determinare il coseno di un qualunque angolo interno del triangolo, conoscendo i tre lati; infatti, rigirando la formula:
