Esempio 7. Che tipo di gruppoide è ⟨ℤ, +⟩ ?

Il gruppoide ⟨ℤ, +⟩ è un semigruppo, in quanto l'addizione è associativa; è anche un monoide essendo unitario (lo zero appartiene a ℤ), ed infine è un quasigruppo, in quanto possiamo fare senza problemi l'operazione inversa (la sottrazione): l'inverso di un numero intero è il suo opposto.
Di conseguenza ⟨ℤ, +⟩ è un gruppo.

Esempio 8. Sia ℚ*₀ l'insieme dei numeri razionali senza lo zero; che tipo di gruppoide è ⟨ℚ*₀, ×⟩ ?

Il gruppoide ⟨ℚ*₀, ×⟩, è un gruppo, infatti la moltiplicazione tra due numeri razionali è sempre un numero razionale, e inoltre è associativa. Possiede un elementro neutro, 1, e ogni numero razionale (escluso appunto lo zero) possiede un inverso.
Ad esempio 2 e 0,5 sono inversi tra loro, in quanto 2 × 0,5 = 1; perciò dividere un numero per 2 equivale a moltiplicarlo per 0,5.
Qual è il vantaggio di usare gli elementi inversi? è che così usiamo una sola operazione invece che due, usando sempre lo stesso numero di elementi.

Esempio 9. Sia A = ℤ₅ = {0, 1, 2, 3, 4} l'insieme di tutti i numeri interi da 0 a n−1; definiamo la seguente operazione tra due elementi di A:

a ⊕ b = (a + b) mod (5)

Che tipo di gruppoide è la coppia ⟨A; ⊕⟩?

L'operazione ⊕ è la somma "ciclica" di questi numeri: 4 ⊕ 1 = 0; 3 ⊕ 3 = 1; e così via (come accade alle ore dell'orologio).
La coppia ⟨A; ⊕⟩ è un gruppo, infatti:

• l'opeazione ⊕ è ben definita: la somma di due numeri di Z₅ è sempre un numero di ℤ₅;
• ⊕ è associativa, poiché deriva dall'addizione tra numeri;
• esiste l'elemento neutro, il numero 0;
• esiste l'inverso (rispetto a ⊕) si ogni numero: 0 ha come inverso se stesso, mentre un generico numero x ha come inverso il numero 5 − x.

Questo gruppo è chiamato gruppo ciclico di ordine 5. In generale il gruppo ciclico ℤ_n ha ordine n.

Esempio 10. Vediamo ora il gruppo dei polinomi.

Sia P(x) l'insieme di tutti i polinomi a coefficienti reali di qualunque grado nella lettera x, e sia + la normale operazione di addizione tra polinomi: la somma di due polinomi è un polinomio avente per monomi tutti i monomi dei polinomi iniziale; eventuali monomi simili possono essere sommati tra loro.

La coppia ⟨P(x), +⟩ è un gruppo, chiamato gruppo dei polinomi nella lettera x, infatti:

• l'opeazione + è ben definita: la somma di due polinomi è sempre un polinomio;
• + è associativa su P(x);
• esiste l'elemento neutro: il polinomio formato dal solo 0;
• esiste l'inverso (rispetto a +) si ogni polinomio: quello avente tutti i segni invertiti rispetto al primo.

Esempio 11. Studiamo il gruppo delle trasformazioni.

Consideriamo un esagono regolare e tutte le possibili trasformazioni rigide (isometriche) che, applicate all'esagono, lo trasformano in se stesso (salvo cambiamento delle lettere).
Tali trasformazioni possono essere di 3 tipi:

• l'identità
• rotazioni di 60° (o multipli) intorno al centro dell'esagono
• simmetrie rispetto ad un asse dell'esagono

Chiamiamo D₆ l'insieme di tutte queste trasformazioni, e sia ∘ l'operazione di composizione tra due trasformazioni: la composizione consiste nell'eseguire due trasformazioni una dopo l'altra.

Chiamiamo quindi l'identità con la lettera I (l'identità è l'elemento neutro per la composizione ∘), la rotazione in senso anti-orario di 60° con la lettera R, e la simmetria rispetto ad un asse, ad esempio quello verticale, con la lettera S.
Quindi ad esempio R∘R, che possiamo scrivere anche R², corrisponde ad una rotazione di 120°, mentre R⁵ è una rotazione di 300°; R∘S è una rotazione di 60° seguita da una simmetria. In particolare:

• R⁶ = I, ossia una rotazione di 360° non cambia la disposizione delle lettere
• S² = I, ossia la successione di 2 simmetrie sullo stesso asse, non cambia la disposizione delle lettere
• R∘S ≠ S∘R, quindi la composizione non è commutativa
• vale la regola: Rⁿ∘S = S∘R⁶⁻ⁿ per un qualunque n da 0 a 5

Facendo tutte le composizioni possibili, otteniamo 12 diversi elementi, perciò 12 possibili trasformazioni che trasformano l'esagono i se stesso:

D₆ = {I, R, R², R³, R⁴, R⁵, R²∘S, R³∘S, R⁴∘S, R⁵∘S }

Per una descrizione di questi 12 elementi, visualizza il file pdf sul gruppo diedrale, cliccando qui.
La coppia ⟨D₆; ∘⟩ è un gruppo, ed è chiamato gruppo diedrale di ordine 6.

Esempio 12. Quali sono i sottogruppi di ⟨ℤ; +⟩?

Il gruppo ⟨ℤ; +⟩ ha come sottogruppo ad esempio ⟨2ℤ; +⟩, essendo 2ℤ l'insieme degli interi pari (0, 2, 4, -2, -4, ecc.). Al contrario ⟨2ℤ+1, +⟩ non è un sottogruppo di ⟨ℤ; +⟩, (essendo 2ℤ+1 l'insieme degli interi dispari), in quanto non è neanche un gruppoide.

In generale ⟨nℤ; +⟩ con n numero naturale maggiore di 1, è un sottogruppo di ⟨ℤ; +⟩.

Esempio 13. Sia ℤ⁺ l'insieme dei numeri naturali più lo zero. La coppia ⟨ℤ⁺; +⟩ è un gruppoide; tuttavia non è un gruppo, in quanto gli elementi non possiedono inversi, quindi non è un sottogruppo di ⟨ℤ; +⟩.

Esempio 14. Consiederiamo il gruppo ⟨A; +⟩ essendo A = ℤ, e il sottogruppo ⟨B; +⟩, essendo B = 5ℤ, l'insieme di tutti i numeri interi divisibili per 5, cioè: B = (0, 5, 10, 15, 20, ..., -5, -10, -15, -20, ...).
Consideriamo un elemento a caso x del gruppo iniziale, ad esempio x = 2; cerchiamo la classe laterale destra formata da ⟨B; +⟩ rispetto a 2. Secondo la definizione:

• Bx = {b + 2, ∀ b ∈ 5ℤ}, ossia l'insieme {2, 7, 12, 17, 22, ..., -3, -8, -13, -18, ...}

Esempio 15. Consiederiamo ora il gruppo ⟨A; ×⟩ con A = ℚ* e il sottogruppo ⟨B; ×⟩, essendo B = {2^k}, l'insieme di tutte le potenze di 2, con esponente intero: B = {1, 2, 4, 8, 16, ..., 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ... }.
Consideriamo un elemento a caso y del gruppo iniziale, ad esempio y = 3; cerchiamo la classe laterale sinistra formata da ⟨B; ×⟩ rispetto a 3. Secondo la definizione:

• yB = {3 × b, ∀ b ∈ {2^k} }, ossia l'insieme {3, 6, 12, 24, 48, ..., 3/2, 3/4, 3/8, 3/16, ... }