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CONTENUTO DELLA PAGINA
L'uso delle lettere
Ruoli delle lettere

L'uso delle lettere

È utile osservare che nella vita quotidiana non utilizziamo mai i numeri da soli, ma di fatto sono sempre riferiti a qualcos'altro: 10 euro, 2 ore, una partita, una dozzine di arance, 11 giocatori, e così via.
Le stesse unità di misura, usate in geometria e in fisica, non sono altro che lettere da mettere affianco ai numeri: 1cm, 60s, 0,8kg…
Quindi non è un'idea troppo azzardata pensare che anche in matematica possiamo mettere in relazione i numeri con qualcosa di diverso: se ho una sedia in un banco e vi aggiungo un'altra sedia, posso tranquillamente dire che sotto il banco ci sono due sedie; se aggiungo un'altra sedia arrivo a tre sedie, in pieno accordo con l'aritmetica, nonostante il fatto che la "sedia" non sia un concetto matematico.
Ma se insieme a queste tre sedie considero anche il banco, non posso fare la somma, in quanto dovrei dire che ci sono 4... sedie? banchi? Per fare la somma devo trovare un nome che accomuna sedie e banchi: mobili, pezzi di legno e ferro, ecc. Quindi:

Possiamo sommare solo cose che possono esser chiamate con lo stesso nome

e finché non riusciamo a trovare un nome in comune non siamo in grado di dire cosa otteniamo, ossia qual è il risultato della loro somma.
Lo stesso vale per la sottrazione: se dalle 3 sedie ne tolgo 2, ritorno con la sedia iniziale.

• 1 sedia + 1 sedia = 2 sedie
• 2 sedie + 1 sedia = 3 sedie
• 3 sedie − 2 sedie = 1 sedia

Mentre:
3 sedie + 1 banco = 3 sedie + 1 banco (se non cambiano nomi)

Ancora più facile se consideriamo qualcosa che siamo abituati a contare, come ad esempio la frutta quando si fa la spesa come le arance e le banane, di seguito abbreviate con le lettere « a » e « b » :

• 1a + 5a = 6a
• 10a − 8a + 3a = 5a
• 13b − 13b = 0b

mentre non possiamo addizionare arance e banane insieme:

• 20a + 30b = 20a + 30b (non c'è un risultato)

Per semplicità possiamo scrivere semplicemente "a" al posto di "1a", "0" al posto di "0a" e analogamente "b" al posto di "1b", "0" al posto di "0b": infatti, che noi abbiamo 0 arance o 0 banane non cambia nulla, comunque non abbiamo niente da far vedere.

Queste regole possono essere generalizzate in matematica:

Ma cosa rappresentano queste lettere in matematica? Numeri! Una lettera rappresenta un numero di cui non sappiamo, o non ci interessa il valore.
Quindi perchè si scrive 3a? Non sono tutti e due numeri? sì, infatti 3a è un numero dato dal prodotto di 3 per a (il segno × è sottinteso).
Ma se non conosco a? vuol dire semplicemente che non conosco il risultato! Però so che se a è un numero naturale, 3a è divisibile per 3; così come so che 2b è un numero pari, se b è naturale. Inoltre molte proprietà valgono a prescindere dal numero che considero: a + a = 2a, per ogni valore che a può assumere!

Se ci pensiamo bene, questo è lo stesso ragionamento che facciamo quando scriviamo una formula in geometria, in fisica, o in una qualunque altra disciplina scientifica; è normale che in una formula ci siano delle lettere, proprio per dare un significato generale alle operazioni descritte: ad esempio, al formula per trovare l'area di un triangolo, come ben sappiamo, è:

A = base × altezza ∶ 2

E nei libri questa formula è sintetizzata così:

A = b×h ⁄ 2

Ossia un'espressione tra lettere e numeri; le lettere b e h non indicano quindi necessariamente numeri noti, ma grandezze il cui valore può variare da caso a caso; ciò che resta inviariante sono le operazioni tra di esse.

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Ruoli delle lettere

In algebra le lettere hanno quindi un rulo molto importante; possiamo classificarle a seconda del loro compito o del loro scopo all'interno di un problema; vengono distinte in:

• costanti - lettere che indicano una quantità precisa, che si conosce, ma che in genere è difficile (o impossibile) scrivere completamente; ad esempio il famoso pi-greco si indica con π, e rappresenta il rapporto tra circonferenza e diametro, ma tale numero non si può scrivere avendo infinite cifre decimali (si approssima con 3,14...);
• variabili - lettere che indicano un generico possibile valore, all'interno di un insieme prestabilito; a volte di una variabile non interessa tanto il suo valore quanto le sue relazioni con altre variabili;
• incognite - lettere che indicano una quantità precisa di cui si ignora il valore, e si vuole calcolare partendo da alcune sue proprietà o relazioni note; ad esempio se so che x − 2 = 0, allora posso calcolarmi x e scoprire che dovrà essere x = 2;
• parametri o variabili secondarie - lettere che indicano un generico valore, all'interno di un insieme prestabilito, che può influenzare indirettamente il risultato o una relazione; un parametro non ha quindi un valore preciso, ma siamo noi ad assegnargli dei valori, per studiare come cambia il problema per ogni valore.

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