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CONTENUTO DELLA PAGINA
Definizioni
Casi particolari
Definizioni
Una disequazione è una generica relazione tra due espressioni algebriche simile ad una equazione; ma mentre in un'equazione si cerca per quali valori dell'incognita il primo membro sia uguale al secondo, in una disequazione possono verificarsi relazioni di diverso tipo tra i due membri.
Ricordiamo che, dati due numeri reali qualunque A e B, può valere una sola tra le seguenti relazioni:
- A > B si legge: A maggiore di B
- A = B si legge: A uguale a B
- A < B si legge: A minore di B
Ad esempio se A=4 e B=5, vale solo la terza possibilità; se invece A=10 e B=6 vale la prima; se infine A=3 e B=3, vale la seconda.
In altre parole, non esiste una quarta possibilità (principio del quartum non datur...) e non esiste neanche la possibilità che valgano contemporaneamente due di queste situazioni: di conseguenza, tornando alle disequazioni, una soluzione non può verificare contemporaneamente le tre relazioni.
Parallelamente, date due espressioni algebriche nell'incognita x, che indicheremo con A(x) e B(x), possiamo schematizzare l'insieme di queste relazioni nella scrittura:
- A(x) > B(x)
- A(x) = B(x)
- A(x) < B(x)
L'equazione A(x) = B(x) è chiamata equazione associata , mentre le altre due relazioni sono le disequazioni a cui è associata l'equazione: molto spesso le soluzioni di una disequazione dipendono dalle soluzioni dall'equazione associata a tale disequazione.
Da queste tre relazioni possiamo considerare anche combinazioni tra due di esse tramite la congiunzione v (vel = oppure), ottenendo ulteriori relazioni, la cui soluzione è data dall'unione delle soluzioni delle relazioni combinate:
A(x) > B(x) V A(x) = B(x) ⇒ A(x) ≥ B(x)
si legge: A(x) maggiore o uguale a B(x)
A(x) > B(x) V A(x) < B(x) ⇒ A(x) ≠ B(x)
si legge: A(x) diverso da B(x)
A(x) < B(x) V A(x) = B(x) ⇒ A(x) ≤ B(x)
si legge: A(x) minore o uguale a B(x)
Per le disequazioni non si parla tanto di soluzioni singole, ma di intervalli o insieme delle soluzioni .
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Esempio 1. Confrontiamo le due espressioni A(x) e B(x), essendo:
A(x) = x + 3, B(x) = 5 − x
L'equazione associata è:
x + 3 = 5 − x
La cui risoluzione porta alla soluzione 1.
Tutti i restanti numeri, sono soluzioni delle due disequazioni principali, infatti:
x + 3 > 5 − x
ha come insieme delle soluzioni tutti i numeri maggiori di 1, mentre
x + 3 < 5 − x
ha come insieme delle soluzioni tutti i numeri minori di 1. Non ci sono altre soluzioni!
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Esempio 2. Vediamo un caso un po' più avanzato. Consiederiamo le espressioni:
A(x) = x², B(x) = 9
L'equazione associata è:
x² = 9
La cui risoluzione porta alle soluzioni +3 e −3.
Quali sono le soluzioni delle due disequazioni principali? Ragionando un po' sulle varie possibilità si può osservare che:
x² > 9
ha come insieme delle soluzioni tutti i numeri maggiori di +3 oppure anche quelli minori di −3, mentre
x² < 9
ha come insieme delle soluzioni tutti i numeri minori di +3 ma contemporaneamente maggiori di −3.
Le soluzioni di una disequazione combinata, si ottengono unendo le soluzioni di queste relazioni, ad esempio:
x² ≤ 9
ha come insieme delle soluzioni tutti i numeri compresi tra −3 e +3, compresi i numeri ±3 stessi.
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Casi particolari
Una disequazione è impossibile se l'insieme delle soluzioni è l'insieme vuoto.
Al contrario è indeterminata se l'insieme delle soluzioni è tutto l'insieme R.
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Esempio 3. Consiederiamo le espressioni seguenti:
A(x) = x², B(x) = −4
L'equazione associata è:
x² = −4
Dopo un'attenta osservazione possiamo dedurre che tale equazione è impossibile, non ammettendo soluzioni reali.
Cosa possiamo dire delle soluzioni delle varie disequazioni associate? Ragioniamo anche qui attentamente e osservare che:
x² > −4
è una disequazione indeterminata: ogni numero reale verifica questa relazione.
x² < −4
è una disequazione impossibile, al pari dell'equazione associata.
Per quanto riguarda le altre disequazioni:
x² ≥ −4
ha come soluzioni l'insieme R unito all'insieme vuoto, di conseguenza anch'essa è indeterminata.
x² ≤ −4
ha come soluzioni l'insieme vuoto unito all'insieme vuoto, di conseguenza risulta impossibile.
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In generale vale la regola semplice che:
I segni di =, >, < si "spartiscono" le soluzioni nell'insieme dei numeri reali
Mentre i segni di ≥, ≤ mettono insieme le soluzioni delle loro combinazioni.
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