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CONTENUTO DELLA PAGINA
Assiomi di Insiemistica
Rappresentazione di insiemi
Assiomi di Insiemistica
Attenzione: può accadere che alcuni simboli non siano visualizzati correttamente, leggi le info alla sezione compatibilità.
Un concetto primitivo è un concetto che non può essere definito, ma si usa per definire altri concetti; un assioma è una affermazione che non può essere dimostrata, ma che è assunta per vera, ed è il punto di partenza per dimostrare (o negare) altre affermazioni.
L'algebra parte dallo studio degli insiemi e delle loro proprietà. I 3 concetti fondamentali da cui si inizia lo studio sono:
elemento (indicato con una lettera minuscola)
insieme (indicato con una lettera maiuscola)
appartenenza (indicata con i simbili ∈ o ∉)
Questi 3 concetti sono legati tra loro dagli assiomi della teoria ingenua degli insiemi; i principali sono:
- Un insieme è costituito da elementi.
- Gli elementi costituenti l'insieme appartengono all'insieme.
- Un elemento non può comparire più di una volta in un insieme, ma può appartere a più insiemi.
- Esiste un insieme non contenente alcun elemento, l'
insieme vuoto , indicato con il simbolo ∅.
- Un insieme può essere un elemento appartenente ad un altro insieme.
- Un insieme non può essere un elemento appartenente a se stesso.
Se un elemento x appartiene ad un insieme A si scrive:
x ∈ A
al contrario, se non appartiene si scrive:
x ∉ A.
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Rappresentazione di insiemi
Un insieme è sempre descritto con una coppia di parentesi graffe, al cui interno possiamo specificare i suoi elementi; tale specificazione può esser fatta in due modi:
per elencazione : elencando tutti gli elementi presenti; se sono tanti (o infiniti), ci si può aiutare con i puntini di sospensione per far capire che gli elementi sono molti di più;
per caratteristica : spiegando qual è la proprietà caratteristica o il criterio che accomuna tutti gli elementi dell'insieme, e che hanno solo loro.
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Esempio 1. Consideriamo l'insieme A, costituito dagli elementi a, b, c,.
Se lo vogliamo descrivere per elencazione, basta scrivere:
A = { a, b, c }
Se lo vogliamo descrivere per caratteristica, possiamo scrivere:
A = { x : x è una delle prime tre lettere dell'alfabeto }
il simbolo di due punti (:) in questo caso si legge "tale che" e serve a specificare le proprietà caratteristiche che x verifica.
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Esempio 2. Consideriamo l'insieme B, che contiene i numeri naturali pari.
Per elencazione si può scrivere:
B = { 2, 4, 6, 8, 10, … }
In questo caso è stato necessario usare i puntini di sospensione, in quanto i numeri pari sono infiniti.
Se lo vogliamo descrivere per caratteristica, si può scrivere:
B = { n = 2k, ∀k ∈ ℕ }
il simbolo di A capovolta (∀) si legge "per ogni" e serve a specificare la proprietà valeper tutti i numeri k naturali; ossia ogni numero pari si può scrivere come il doppio di un altro numero naturale.
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