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CONTENUTO DELLA PAGINA
Regole di derivazione
Derivate fondamentali
Esempi
Regole di derivazione
Per calcolare la derivata di funzioni avanzate è opportuno conoscere le formule generali di derivazione.
| regola |
funzione | derivata |
| somma di funzioni |
f(x)+g(x) | f '(x) + g '(x) |
| differenza di funzioni |
f(x)−g(x) | f '(x) − g '(x) |
| prodotto per una costante |
k·f(x) | k·f '(x) |
| prodotto di funzioni |
f(x)·g(x) | f '(x)·g(x) + f(x)·g '(x) |
| reciproco di una funzione |
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| rapporto tra funzioni |
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| f '(x)·g(x) − f(x)·g '(x)g(x)² |
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| composizione tra funzioni |
f [g(x)] | f '[g(x)]· g '(x) |
| inverso di una funzione |
f −1(y) |
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Derivate fondamentali
Di seguito sono riportate le derivate delle funzioni elementari, ottenute direttamente dalla definizione, facendo il limite del rapporto incrementale per intervalli infinitesimi.
| tipo |
funzione
ƒ(x) | derivata
ƒ ' (x) |
| costante |
k | 0 |
| lineare |
x | 1 |
| quadratica |
x² | 2x |
| potenza |
x n | n xn−1 |
| esponenziale (naturale) |
e x | ex |
| logaritmo (naturale) |
ln |x| | 1 ⁄ x |
| seno |
sen(x) | cos(x) |
| coseno |
cos(x) | −sen(x) |
Qui invece sono riportate le derivate di alcune funzioni più avanzate, ottenute applicando le formule generali di derivazione.
| tipo |
funzione
ƒ(x) | derivata
ƒ ' (x) |
| polinomio |
axn + bxm |
anxn−1 + bmxm−1 |
| irrazionale |
n√x |
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| esponenziale (generico) |
ax | ln (a) · ax |
| logaritmo (generico) |
logb |x| |
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| tangente |
tan(x) | 1 + tan (x)² |
| cotangente |
cot(x) | − 1 − cot(x)² |
| arco-seno |
arcsen(x) |
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| arco-coseno |
arccos(x) |
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| arco-tangente |
arctan(x) |
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| arco-cotangente |
arccot(x) |
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Esempi
Ecco alcuni esempi di come si calcola la derivata.
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Esempio 2. Calcoliamo la derivata della funzione:
ƒ(x) = 5x³ + 3x² − 2 x + √8
Svolgimento. Essendo una somma algebrica, possiamo calcolare separatamente le singole derivate, e poi scrivere l'espressione finale con le stesse operazioni.
Calcoliamo quindi la derivata di ogni termine:
- D [ 5x³ ] = 5 · 3x² = 15x²
- D [ 3x² ] = 3 · 2x = 6x
- D [ 2 x ] = 2 x · ln(2)
- D [ √8 ] = 0 (essendo un valore costante)
Conclusione: la derivata la derivata della funzione è :
ƒ ' (x) = 15x² + 6x − 2 x ln(2)
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