Introduzione - Regole di derivazione - Derivabilità - Punti stazionari

★ ★ ☆

<<< Precedente   -   Successivo >>>

CONTENUTO DELLA PAGINA
Il rapporto incrementale
Il concetto di derivata

Il rapporto incrementale

Il rapporto incrementale è il rapporto tra gli incrementi delle variabili, ossia quanto varia la y e quanto varia la x in una curva nel piano cartesiano: Δy / Δx.

Studiamo una funzione continua ƒ e consideriamo un suo punto A, di coordinate:

x_A = x₀   e   y_A = ƒ(x₀)

Per capire come varia tale funzione, ci spostiamo dal punto A ad un suo punto vicino B (sempre della funzione ƒ); esso ha coordinate:

x_B = x₀ + h;   e   y_B = ƒ(x₀ + h)

Di conseguenza:
Δy = y_B − y_A = ƒ(x₀ + h) − ƒ(x₀)
Δx = x_B − x_A = h.

Possiamo quindi definire:

Il rapporto incrementale è molto utile perché coorisponde al coefficiente angolare m della retta y = mx + q che passa per i due punti assegnati, quindi ci dà indicazioni sull'andamento della funzione (come in fisica avviene quando calcoliamo la velocità media).

Ad esempio se il rapporto incrementale tra A e B è positivo, vuol dire che la funzione tra A e B in media sta crescendo, mentre se è negativo sta in media scendendo.

Tuttavia se vogliamo avere un risultato più accurato, dobbiamo far sì che i punti A e B siano molto vicini tra loro, ossia che la differenza h sia molto piccola, addirittura infinitesima.

^
Torna su

Il concetto di derivata

Come abbiamo detto, se vogliamo avere un risultato più accurato, dobbiamo far sì che i punti A e B siano molto vicini tra loro.

In situazioni di questo tipo sia Δx, sia Δy si avvicinano a 0, quindi non si possono svolgere i calcoli normalmente, in quanto non si può dividere per zero.

Per questo motivo è necessario studiare il limite del rapporto incrementale per h → 0 e verificare se il risultato venga un valore numerico finito (il coefficiente angolare non può esser infinito).

Spesso studiando tale limite si ottiene una forma indeterminata 0 / 0. Se risolvendo la forma indeterminata si verifica che il limite esiste ed è un numero reale finito, allora:

Di conseguenza la derivata in un punto ci dice la pendenza della curva in quel punto.
Se al contrario se il limite non esiste o è infinito, allora la derivata non è definita in quel punto.

Dal punto di vista geometrico, vale questa importantissima proprietà:

Esistono delle formule che ci consentono di calcolare la derivata in un punto generico di una funzione, senza fare lo studio del limite: si parte dallo studio della derivata di funzioni semplici e si esamina cosa succede alla derivata componendo tra loro più funzioni.

^
Torna su

<<< Precedente   -   Successivo >>>