|
★ ★ ☆
<<< Precedente -
Successivo >>>
CONTENUTO DELLA PAGINA
Punti stazionari
Intervalli di monotonia
Classificazione
Punti stazionari
Si chiamano punti stazionari quei punti in cui la funzione ha la tangente orizzontale. Più precisamente:
|
Un punto stazionario è un punto in cui la funzione è continua e derivabile, e in cui la derivata prima vale zero.
|
Quindi per individuare i punti stazionari, è necessario trovare i punti che verificano l'equazione:
ƒ ' (x) = 0
|
Esempio 4 – 1ª parte. Calcoliamo gli eventuali punti stazionari della funzione:
ƒ(x) = x³ − 3x
Svolgimento. Il Dominio della funzione è tutto ℝ poiché la funzione è polinomiale.
La derivata è:
ƒ '(x) = 3x² − 3
Troviamo quindi gli zeri della derivata, risolvendo l'equazione associata:
3x² − 3 = 0
3(x − 1)(x + 1) = 0
Le soluzioni sono x = +1 e x = −1; sostituendo nella funzione i valori trovati, otteniamo i punti: A (+1; −2) e B(−1; +2).
Conclusione: i punti stazionari della funzione sono:
A (+1; −2) e B(−1; +2).
|
^
Torna su
Intervalli di monotonia
Studiare gli intervalli di monotonia di una funzione qualunque, vuol dire determinare per quali intervalli delle x la funzione sia crescente e per quali sia decrescente (vedi funzioni monotone).
Tale studio può esser fatto studiando il segno della derivata prima, mediante la disequazione.
ƒ ' (x) > 0
Utilizzando la tabella per lo studio del segno (in modo simile alla funzione iniziale) con le seguenti considerazioni:
- se ad un intervallo corrisponde un risultato positivo (+) allora in tale intervallo la funzione è crescente, e si scrive una freccia verso l'alto (↗)
- se ad un intervallo corrisponde un risultato negativo (−) allora in tale intervallo la funzione è decrescente, e si scrive una freccia verso il basso (↘)
|
Esempio 4 – 2ª parte. Determiniamo gli intervalli di monotonia della funzione precedente:
ƒ(x) = x³ − 3x
Svolgimento. La derivata, calcolata in precedenza, è:
ƒ '(x) = 3x² − 3x
Studiamo il segno della derivata, risolvendo la disequazione:
3x² − 3x > 0
Essendo una disequazione di secondo grado possiamo risolverla in vari modi; usando le scomposizioni otteniamo:
3(x − 1)(x + 1) > 0
Studiamo separatamente i tre fattori, quindi riportiamo i risultati nella tabella.
| x : |
|
−1 |
|
+1 |
|
| (3) |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
| (x−1) |
− |
0 |
+ |
+ |
+ |
| (x+1) |
− |
− |
− |
0 |
+ |
| ƒ '(x) |
+ |
0 |
− |
0 |
+ |
| ƒ (x) |
↗ |
|
↘ |
|
↗ |
Conclusione: dalla tabella si osserva che la funzione sia crescente prima di −1 e dopo di 1, mentre sia decrescente tra −1 e 1.
|
^
Torna su
Classificazione dei punti stazionari
I punti stazionari di una funzione possono esser di 4 tipi:
punto di massimo – se prima di esso la funzione è crescente (↗) e dopo di esso è decrescente (↘). Un punto di massimo ha la y maggiore di quelle di tutti i punti vicini della funzione.
punto di minimo – se prima di esso la funzione è decrescente (↘) e dopo di esso è crescente (↗). Un punto di minimo ha la y minore di quelle di tutti i punti vicini della funzione.
flesso ascendente a tangente orizzontale – se prima di esso e dopo di esso la funzione è crescente (↗).
flesso discendente a tangente orizzontale – se prima di esso e dopo di esso la funzione è decrescente (↘).
|
Esempio 5. Determiniamo i punti stazionari e gli intervalli di monotonia della funzione:
ƒ(x) = x² − 4x + 3
Svolgimento. Tale funzione rappresenta una parabola, il suo dominio è tutto ℝ essendo una funzione polinomiale.
La derivata è:
ƒ '(x) = 2x − 4
Troviamo quindi gli zeri della derivata, risolvendo l'equazione associata:
2x − 4 = 0
2x = 4
x = 2
Sostituendo nella funzione iniziale il valore trovato (x = 2), otteniamo il punto stazionario: A (+2; −1).
Con calcoli simili studiamo il segno della derivata, studiando la disequazione:
2x − 4 > 0
2x > 4
x > 2
Essendo una disequazione di primo grado è presente un solo fattore; riportiamo il risultato nella tabella.
| x : |
|
+2 |
|
| ƒ '(x) |
− |
0 |
+ |
| ƒ (x) |
↘ |
|
↗ |
Conclusione:la funzione è decrescente prima di 2 e crescente dopo di 2, per cui il punto A (+2; −1) trovato prima è un punto di minimo.
Osservazione: questo risultato si accorda con un normale studio della parabola, in quanto il punto trovato non è altri che il vertice; essendo la parabola con la concavità verso l'alto (sorridente) è ovvio che il vertice sia un punto di minimo.
|
^
Torna su
<<< Precedente -
Successivo >>>
|