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CONTENUTO DELLA PAGINA
Intervalli ed estremi
Gli intorni
Il concetto di limite
Limite da destra o da sinistra
Intervalli ed estremi
Prima di introdurre formalmente il concetto di limite di una funzione, è importante chiarire il contesto in cui se ne parla e fissare alcuni concetti di base.
Ricordiamo che una funzione ƒ è una particolare corrispondenza tra due insiemi, il Dominio e il Codominio, tale che ad ogni elemento x del Dominio corrisponde uno e un solo elemento ƒ(x) del Codominio.
Il Dominio e il Codominio possono essere insiemi qualunque e come tali avere sottoinsiemi; tra i sottoinsiemi poi si possono fare le normali operazioni di intersezione, unione, diffenza, complementare… (per approfondire, vedi le pagine sugli insiemi).
In matematica ci concentriamo solamente su insiemi numerici: in particolare supponiamo che il Dominio e il Codominio siano l'insieme ℝ dei numeri reali, o suoi sottoinsiemi.
Vediamo ora alcuni importanti sottoinsiemi di ℝ, che serviranno per lo studio dei limiti.
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Un intervallo limitato , o semplicemente un intervallo , di estremi a e b (con a ≤ b) è un sottoinsieme di ℝ contenente tutti i numeri compresi tra gli estremi a e b.
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Dati un intervallo ℐ e un qualunque numero n, allora n è definito:
- un
minorante di ℐ, se è più piccolo di tutti i valori dell'intervallo;
- l'
estremo inferiore di ℐ, se è il più grande tra tutti i minoranti dell'intervallo;
- un
maggiorante di ℐ, se è più grande di tutti i valori dell'intervallo;
- l'
estremo superiore di ℐ, se è il più piccolo tra tutti i maggioranti dell'intervallo.
Ogni intervallo può possedere diversi maggioranti e minoranti, e questi sono sempre esterni all'intervallo; ma possiede solamente un estremo superiore e un estremo inferiore, che si trovano proprio al confine, tra l'interno e l'esterno dell'intervallo, come schematizzato in figura 1, dove in arancione è evidenziato l'intervallo.
Figura 1
Ogni intervallo è identificato dai propri estremi a e b (che non necessariamente appartengono all'intervallo); inoltre un intervallo è:
chiuso a sinistra se comprende il suo estremo inferiore;
aperto a sinistra se non comprende il suo estremo inferiore;
chiuso a destra se comprende il suo estremo superiore;
aperto a destra se non comprende il suo estremo superiore.
Se il lato (a destra o a sinistra) non è specificato, allora si intendono entrambi gli estremi; in generale:
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Un intervallo si dice:
chiuso se comprende gli estremi;
aperto se non comprende gli estremi.
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Infine:
- se l'estremo inferiore è compreso, allora è chiamato il
minimo dell'intervallo;
- se l'estremo superiore è compreso, allora è chiamato il
massimo dell'intervallo.
Quindi:
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Ogni intervallo ha sempre un estremo inferiore e uno superiore, ma non sempre possiede un massimo o un minimo.
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Un intervallo limitato si indica scrivendo la coppia di estremi tra parentesi: si usa una parentesi quadra per indicare un estremo compreso (intervallo chiuso), una tonda per indicare un etremo non compreso (intervallo aperto).
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Esempio 1. Vediamo alcuni intervalli limitati e il corrispondente significato.
- ( 4; 5 ) → { 4 < x < 5 }
(intervallo aperto a sinistra e a destra)
- ( 0; 9 ] → { 0 < x ≤ 9 }
(intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra)
- [ −5; 0 ) → { −5 ≤ x < 0 }
(intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra)
- [ 9; 12 ] → { 9 ≤ x ≤ 12 }
(intervallo chiuso a sinistra e a destra)
- [ 7; 7 ] → { x = 7 }
(i singoli punti sono intervalli chiusi)
- ( 3; 3 ) → ∅
(l'insieme vuoto è un intervallo aperto)
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Altri particolari sottoinsiemi non hanno estremi fissati.
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Un intervallo illimitato è un intervallo in cui non è fissato un suo estremo (o entrambi).
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Nel caso ad esempio sia fissato il solo estremo inferiore a, l'intervallo è illimitato superiormente, ed è costituito da tutti i numeri maggiori del valore di a, come in figura 2.
Figura 2
In questa figura è rappresentato (in arancione) un intervallo illimitato superiormente, avente come estremo inferiore a.
Un intervallo illimitato superiormente si dice:
chiuso se comprende l'estremo a (che quindi diventa anche minimo);
aperto se non comprende l'estremo a.
Nel caso invece sia fissato il solo estremo superiore b, l'intervallo è illimitato inferiormente, ed è costituito da tutti i numeri minori del valore di b,, come in figura 3.
Figura 3
Qui è rappresentato (in arancione) un intervallo illimitato inferiormente, avente come estremo superiore b.
Un intervallo illimitato inferiormente si dice:
chiuso se comprende l'estremo b (che quindi diventa anche massimo);
aperto se non comprende l'estremo b.
Nel caso infine in cui non sia fissato alcun estremo, l'intervallo illimitato coincide con tutto l'insieme ℝ dei numeri reali.
Anche un intervallo illimitato si indica con una coppia di valori tra parentesi, mettendo al posto dell'estremo mancante il valore infinito (−∞ a sinistra o +∞ a destra).
Ricordiamo che con il simbolo di infinito (∞) indichiamo un valore non numerico, ma che è confrontabile con ogni numero, in particolare:
- +∞ è molto più grande di ogni qualunque numero reale;
- −∞ è molto più piccolo di ogni qualunque numero reale.
Se l'estremo finito dell'intervallo (a o b) è compreso, la sua parentesi è quadra, se al contrario non è compreso la sua parentesi è tonda; il valore infinito non può mai esser compreso, quindi ha sempre una parentesi tonda.
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Esempio 2. Vediamo alcuni intervalli illimitati e il corrispondente significato.
- ( 4; +∞ ) → { x > 4 }
(intervallo illimitato superiormente, aperto a sinistra)
- ( −∞; 9 ) → { x < 9 }
(intervallo illimitato inferiormente, aperto a destra)
- [ 1; +∞ ) → { x ≥ 1 }
(intervallo illimitato superiormente, chiuso a sinistra)
- ( −∞; 6 ] → { x ≤ 6 }
(intervallo illimitato inferiormente, chiuso a destra)
- ( −∞; +∞ ) → ℝ
(l'insieme ℝ è un intervallo aperto, illimitato inferiormente e superiormente)
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Gli intorni
Definiamo ora un intervallo molto particolare, un concetto chiave che ci serve per il nostro studio.
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Un intorno di un valore xₒ è un qualunque intervallo limitato aperto ( a; b ) in cui a ≤ xₒ ≤ b.
I(xₒ) = { ∀x ∈ℝ ∶ a < x < b }
Un intorno di infinito è un qualunque intervallo illimitato aperto (−∞; a) o (b; +∞).
I(−∞) = { ∀x ∈ℝ ∶ x < a }
I(+∞) = { ∀x ∈ℝ ∶ x > b }
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In parole semplici, un intorno di xₒ è l'insieme dei numeri vicini ad xₒ, il suo "vicinato"; in particolare un intorno di xₒ può esser:
sinistro se xₒ coincide con l'estremo destro:
I⁻(xₒ) = { ∀x ∈ℝ ∶ a < x < xₒ }
destro se xₒ coincide con l'estremo sinistro:
I⁺(xₒ) = { ∀x ∈ℝ ∶ xₒ < x < b }
circolare di centro xₒ e di raggio R, se la distanza da xₒ agli estremi vale R:
I (xₒ, R) = { ∀x ∈ℝ ∶ xₒ− R < x < xₒ + R }
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Esempio 3. Studiamo l'intervallo aperto (2; 6).
Esso può esser considerato come:
- un intorno circolare di centro 4 e raggio 2;
- un intorno destro di 2;
- un intorno sinistro di 6;
- un intorno generico di un qualunque altro numero tra 2 a 6.
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Esempio 4. Quale può esser un intorno di 5?
Un intorno di 5 è un qualunque intervallo limitato e aperto, contentente il 5 al suo interno, ad esempio
- ( 4; 10 )
- ( 1; 1000 )
- ( 3; 7 )
Quest'ultimo caso è anche un intorno circolare, in quanto il 5 si trova proprio al centro.
Inoltre se cerchiamo un intorno sinistro di 5, possiamo consiederare:
- ( 0; 5 )
- ( −7; 5 )
- ( 2; 5 )
Mentre se ci interessa un intorno destro di 5, possiamo consiederare:
- ( 5; 6 )
- ( 5; 12 )
- ( 5; 99 )
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In questa sezione supponiamo che gli intorni, se non sono destri o sinistri, sono per comodità intorni circolari.
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Il concetto di limite
Cosa si intende per limite? Il concetto di limite è uno dei più astratti tra quelli che si studiano a scuola, per questo motivo è spesso visto con diffidenza dagli studenti, soprattutto perchè viene introdotto con scrittura non facili da capire.
Possiamo introdurlo nel seguente modo:
Sia in una funzione ƒ(x) e xₒ un valore appartenente al Dominio o ai suoi estremi.
Se, facendo avvicinare sempre più le x ad xₒ, corrisponde un avvicinamento delle immagini ƒ(x) ad L, allora L è chiamato il limite della funzione ƒ per x che tende ad xₒ, e si scrive:
Ossia il limite è un'operazione che consiste nell'ipotizzare il valore di una funzione per un determinato valore xₒ dell'incognita, conoscendo i valori della funzione per x prossime a tale xₒ.
In altre parole consiste nel prevedere il risultato di una funzione in un punto, conoscendo altri risultati vicini.
Tale ragionamento si può fare in modo intuitivo per ogni xₒ che appartenga al Dominio, ma questo in teoria non è necessario, in quanto per tali casi è sufficiente sostituire direttamente il valore interessato all'interno della funzione (come abbiamo fatto negli esempi dello studio di una funzione).
Il caso più interessante è quando xₒ è un estremo del Dominio. Cosa sono gli estremi del Dominio?
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Un valore xₒ è un estremo del Dominio , se è un estremo di uno degli intervalli di cui è composto il Dominio.
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Infatti il Dominio di una funzione è un sottoinsieme di ℝ, per cui può essere un intervallo, o un'unione di più intervalli; se tali intervalli sono chiusi, gli estremi appartengono al Dominio, per cui non è necessario coinvolgere i limiti nel nostro studio; al contrario se gli intervalli sono aperti, gli estremi non appartengono al Dominio, restano alla frontiera: loro non fanno parte del Dominio, ma ci sono punti molto vicini ad essi che ne fanno parte; per questo con lo studio dei limiti, possiamo ipotizzare il comportamento della funzione anche (e soprattutto) in questi casi estremi.
Vediamo come applicare questo ragionamento per ipotizzare il valore di una funzione in un suo valore estremo.
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Esempio 5. Consiederiamo la funzione seguente:
| ƒ(x) = |
2x² − 6x + 4
2x − 2 |
Per prima cosa studiamo il Domionio: essendo una funzione fratta deve esser posta la condizione che il denominatore sia diverso da zero; si ottiene quindi:
D = { ∀x∈ ℝ : x≠1 }
Tale Dominio può esser scrutto come l'unione di due intervalli disgiunti:
D = ( −∞; 1 ) ∪ ( 1; +∞ )
I valori ±∞ e 1 sono gli estremi del Dominio. Questo vuol dire che possiamo sostituire alla x ogni valore reale, ad eccezione del numero 1. Ma è possibile capire cosa succede "vicino ad 1"?
Proviamo a calcolare alcune immagini di numeri vicini ad 1, per capire se possiamo dare una risposta (i calcoli sono stati svolti a parte).
| x |
|
y = ƒ(x) |
| 0 |
↓ |
−2 |
| 0,5 |
↓ |
−1,5 |
| 0,8 |
↓ |
−1,2 |
| 0,9 |
↓ |
−1,1 |
| 0,99 |
↓ |
−1,01 |
| 1 |
|
? |
| 1,01 |
↑ |
−0,99 |
| 1,1 |
↑ |
−0,9 |
| 1,2 |
↑ |
−0,8 |
| 1,5 |
↑ |
−0,5 |
| 2 |
↑ |
0 |
Partendo da x = 0 e aumentando le x, osserviamo che le immagini diminuiscono; analogamente partendo da x = 2 e diminiendo le x, osserviamo che le immagini crescono; inoltre le immagini si avvicinano sempre più ad un valore misterioso che potrebbe corrispondere all'immagine di x = 1.
Osservando bene capiamo che il valore misterioso è −1.
ATTENZIONE: possiamo dire che l'immagine di x = 1 è il valore −1?
NO ! ! !
x = 1 non fa parte del Dominio, quindi non può avere immagini!
Scrivere ƒ(1) = −1 per questa funzione è sbaglato!
Allora cos'è questo valore −1 che abbiamo trovato?
È un valore limite a cui la funzione si avvicina, quando le x si avvicinano a 1.
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Da questo esempio possiamo capire che in alcuni casi, quando la x si avvicina sempre più ad un determinato valore xₒ allora può capitare che anche le rispettive immagini si avvicinino sempre più ad un determinato valore L.
Se il valore di xₒ appartiene al Dominio, allora è possibile che L sia esattamente l'immagine di xₒ, ossia L = ƒ(xₒ). Ma se xₒ non appartiene al Dominio, non può avere immagine, quindi L non è l'immagine di xₒ.
Osservazione: la scrittura x → xₒ indica che x assume valori dinamici, sempre più vicini al valore xₒ; e di conseguenza la funzione assume valori variabili, a seconda delle x scelte; è importante ribadire ancora una volta che non calcoliamo il caso x = xₒ, ma che lo ipotizziamo sulla base dei valori ad esso vicini.
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Limite da destra o da sinistra
Talvolta nel calcolare un limite compare un segno accanto al valore a cui la x tende, ad esempio un più:
x →4⁺
cosa vuol dire?
Che nello studiare il limite per x che tende a 4, dobbiamo partire solo da numeri più grandi di 4 e andare scendendo verso 4 (quindi 4,3 … 4,2 … 4,1 … 4,05 … 4,01 … 4,001 …), escludendo quindi tutti i possibili valori più piccoli di 4.
Analogamente se compare un segno meno:
x →2⁻
vuol dire che dobbiamo arrivare a 2 considerando solo valori più piccoli di 2 (quindi 1,7 … 1,8 … 1,9 … 1,95 … 1,98 … 1,99 …).
La regola è:
- Esponente "+" → limite
da destra : indica che dobbiamo considerare solo l'intorno destro del valore studiato, partendo da valori più grandi di esso.
- Esponente "−" → limite
da sinistra : indica che dobbiamo considerare solo l'intorno sinistro del valore studiato, partendo da valori più piccoli di esso.
Perché fare questa precisazione? Cosa ci guadagniamo? Beh, talvolta succede che la funzione assuma valori molto diversi se sostituiamo alla x numeri anche vicinissimi tra loro, ma che si trovano da parti opposte rispetto al suo valore limite; la situazione più comune è proposta nel seguente esempio:
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Esempio 6. Calcoliamo il limite della funzione ƒ(x) = 1 ⁄ x per x che tende a zero.
Tale funzione ha come Dominio:
D = { ∀x ∈ℝ ∶ x ≠ 0 }
quindi x = 0 è un estremo del Dominio; osserviamo inoltre che se ad esempio prendiamo due valori di x molto vicini, ad esempio x = −0,01 e x = +0,01, otteniamo due risultati molto distanti:
- ƒ(−0,01) = −100
- ƒ(+0,01) = 100
Se facciamo il limite per x → 0, dobbiamo fare infatti attenzione a come ci arriaviamo.
Se 𝑥 → 0⁻ la funzione assume valori negativi che in valore assoluto diventano sempre più grandi.
Al contrario se 𝑥 → 0⁺ la funzione assume valori positivi che diventano sempre più grandi.
Di conseguenza nell'intorno di zero la funzione si allontana sempre di più verso i due estremi opposti.
Conclusione: possiamo dire che
mentre
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In generale quindi quando abbiamo a che fare con un limite per x che tende ad un valore estremo al Dominio, che non appartiene ad esso, occorre considerare questa distinzione. In particolare ciò diventa essenziale nel caso in cui compaia zero al denominatore: in questo caso, come abbiamo visto nell'esempio, i limiti da destra e da sinistra possono portare a risultati totalmente diversi.
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