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CONTENUTO DELLA PAGINA
Isaac Newton
Teorema binomiale
Legge di gravitazione

Isaac Newton

Sir Isaac Newton (italianizzato Isacco Newton) fu un importante matematico, fisico e filosofo inglese, vissuto tra il XVII e il XVIII secolo. Nato nel 1643, orfano di padre, la madre si risposò e lui visse con i nonni; di carattere introverso, paranoico e non molto gradevole, non ebbe relazioni sentimentali di rilievo e i conoscenti affarmavano di non vederlo quasi mai ridere.

Da giovane studiò al Trinity College di Cambridge, facendo invenzioni e scoperte in ambito matematico (studiando le proprietà delle serie numeriche, le potenze del binomio e inventando il calcolo infinitesimale) e fisico (scoprendo la legge di gravitazione, studiando la relatività del moto e i fenomeni ottici) e dando un grande contributo allo sviluppo del metodo scientifico.
Celebre fu l'aneddoto per il quale Newton si trovava sotto un melo, quando gli cadde una mela in testa, e ciò gli suscitò il desiderio e la curiosità di investigare sulle leggi che regolano l'attrazione dei corpi, in particolare quelli celesti.

I suoi studi in ambito matematico lo portarono ad una acerrima rivalità con Liebnitz, in particolare riguardo l'invenzione del calcolo infinitesimale e lo studio di serie e integrali. La sua più importante opera fu, in collaborazione con Halley, "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica", noto semplicemente come Principia, un trattato di fisica riguardante tutte le sue conoscenze sulla dinamica, sulla relatività, e sull'astronomia.

Nel 1699 divenne direttore della Zecca inglese, facendo importante riforme, e in seguito nel 1703 presidente della Royla Society e associato dell'Accademia francese delle Scienze; infine nel 1705 fu nominato cavaliere; mor` a Londra nel 1727 e fu sepolto nell'abbazia di Westminster.

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Teorema binomiale di Newton

Il teorema binomiale aiuta a calcolare la potenza di un binomio, per mezzo di una regola, generalizzando i noti prodotti notevoli (quadrato del binomio e cubo nel binomio).
La formula del teorema è:

Essendo C _{n, k} il coefficiente binomiale, ottenibile dal triangolo di Tartaglia in cui n indica la riga, k la colonna, o dato dalla formula:

Ad esempio se n = 6, guardando il triangolo di tartaglia, la riga 6 è formata dai numeri:
1   6   15   20   15   6   1

Quindi C _{6, 3} è il numero della colonna 3, ossia il 20 (dato che le righe e le colonne partono da 0, la colonna 3 corrisponde al quarto numero da sinitra); analogamente C _{6, 4} = 15.

Il termine Σ _k indica la sommatoria di tutti i termini nella parentesi tonda, in cui n resta sempre lo stesso numero, mentre i valori di k vanno da 0 fino ad n: se ad esempio n = 5, allora k corrisponde a tutti i numeri da 0 a 5 e otteniamo una somma di 6 termini diversi, in ognuno dei quali le potenze di a vanno diminuendo, quelle di b aumentando.

Vediamo 3 esempi semplici:

Osservazioni:

• i coefficienti binomiali di ogni riga sono speculari: si parte da 1, si cresce e poi si ritorna a 1;
• il polinomio ottenuto con questa regola è simmetrico, ossia quello che accade alla lettera a, accade anche alla lettera b, per cui queste possono scambiarsi di posizione;
• ogni lettera compare nel polinomio con tutte le potenze possibili fino a quella massima (data da n) e la somma degli esponenti di a e di b è sempre uguale ad n.

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Legge di gravitazione universale

Newton osservò che tutti i corpi celesti, cosi come gli oggetti sulla terra, sono soggetti alla stessa forza di attrazione, che dipende solamente dalla massa dei corpi e dalla loro distanza.
In particolare la forza con cui due corpi si attraggono reciprocamente è:

Tale forza è sempre attrattiva (al contrario della forza elettrica descritta dalla legge di Coulomb), ed è:

• direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei due corpi;
• direttamente proporzionale ad ognuna delle due masse, se l'altra è costante;
• inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.

Il termine G nella formula è la costante di proporzionalità, ed è chiamata per l'appunto costante della legge di Newton o costante di gravitazione universale e vale circa:

G = 6,672 · 10^-11 N·m²/kg²

Osservazione: da questa formula possiamo ricavare anche la norma formula per calcolare il peso di un corpo sulla terra: infatti se vogliamo calcolare tale forza, dobbiamo impostare:

• m ₁ → massa della Terra: m _T = 5,972 · 10²⁴ kg
• m ₂ → massa generica di una corpo sulla terra m _c
• d → raggio medio della terra R _T = 6,371 · 10⁶ m

La legge di Newton può esser riscritta in questo modo:

e il termine in frazione equivale a 9,81 m/s², ossia la normale costante di accelerazione gravitazionale terrestre g, quindi la formula diventa:

che è la formula per calcolare normalmente il peso di un corpo sulla Terra.

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