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Pitagora e i pitagorici Nato nell'isola di Samo (Grecia) nel VI secolo a.C. fu uno dei più importanti matematici-filosofi della storia. Nonostante sia noto principalmente per questo teorema geometrico, Pitagora prediligeva lo studio dell'aritmetica, in particolare lo studio dei numeri interi e le loro proprietà: la sua filosofia era che ogni cosa in natura poteva essere ricondotta ai numeri naturali, per questo accettava a malincuore l'utilizzo di numeri razionali, e negava fermamente la possibilità che esistessero numeri irrazionali... Da molti vista come una confraternita o una setta religiosa (in quanto cercavano di tenere segrete le loro teorie), la scuola pitagorica dette un grande contributo alla matematica: uno dei lavori più importanti assegnati ai suoi discepoli fu la dimostrazione che esistesse un numero, per lo meno razionale, il cui quadrato fosse 2; in generale la matematica era per i pitagorici il fondamento della realtà. I numeri La filosofia pitagorica si basa sulla centralità del concetto di numero, come legame armonioso tra tutte le cose in natura: ogni essere vivente, oggetto, teoria, emozione, e sensazione è misurabile, quindi riconducibile ad un numero o ad un insieme di numeri, tanto che i pitagorici associavano ai numeri un valore metafico, mistico: ogni numero aveva una propria importanza, e un suo significato proprio, ad esempio: 
Estrema importanza veniva data al numero 10, ottenuto come la somma dei primi quattro numeri: in genere era rappresentato da un insieme di 10 punti messi a forma triangolare, di lato 4: questa costruzione veniva chiamata «Τητρακτυσ» (Tetraktis = formato dal 4, vedi figura 1) e aveva un valore mistico, in quanto indicava la completezza, e rappresentava tutto l'universo; dall'alto verso il basso era formato da quattro livelli, ognuno dei quali possedeva diversi significati:
Il Tetraktis conteneva quindi tutti i concetti geometrici di base e gli elementi fondamentali dell'esistenza. Un'importante invenzione numerica fu la tavola pitagorica, una tabella con tutti i multipli dei numeri interi da 1 a 12 (ancora presente in alcuni libri e quaderni).
In particolare le scienza e la fisica erano discipline strettamente connesse con la matematica in quanto senza la possibilità di una misura perdevano importanza; inoltre la conoscenza dei numeri era il miglior modo di purificare la propria anima, in vista della trasmigrazione. Il teorema di Pitagora Nei suoi viaggi Pitagora visitè l'Egitto e l'Asima minore, ove apprese che esisteva una relazione tra i quadrati di alcuni numeri: ad esempio il quadrato di 3 e di 4, sommati, formano il quadrato di 5. In queste civiltà questa relazione veniva usata in ambito geometrico, con lo studio dei triangoli rettangoli (vedi figura 2), e in architettura, in particolare nella costruzione di piramidi in Egitto.
Il merito di Pitagora fu di generalizzare questa scoperta, di astrarla e di aggiungerla alle proprietà dei numeri da lui già scoperte; non si sa di preciso se dava importanza all'applicazione geometrica, ma di sicuro coltivò molto il lato algebrico, tanto da imbattersi in alcune situazioni apparentemente impossibili: non tutti i numeri rispettano questa relazione, ad esempio il quadrato di 1 e di 2 non formano il quadrato di alcun numero! Terne pitagoriche Le terne pitagoriche sono terne di numeri (a, b, c) che verificano il teorema di Pitagora, ovvero:
di conseguenza a e b sono i valori dei cateti di un triangolo rettangolo e c è il valore dell'ipotenusa. È possibile trovare terne pitagoriche di numeri naturali mediante una formula precisa: sono terne di numeri (a, b, c) che verificano il teorema di Pitagora, ovvero:
I valori di a e b possono esser scambiati all'interno della terna pitagorica (essendo due cateti), mentre il valore di c deve esser sempre il maggiore dei 3 numeri (essendo l'ipotenusa). Data una terna pitagorica, se moltiplichiamo i tre numeri per un valore costante (intero positivo) allora otteniamo una nuova terna pitagorica, multipla della precedente; non tutte le terne pitagoriche possono esser ottenute con la formula scritta sopra. Vediamo alcuni esempi:
Altre terne che non compaiono in questa tabella sono ad esempio le terne multiple: (9, 12, 15), (15, 20, 25), (18, 24, 30), (21, 28, 35), (15, 36, 52), (21, 72, 75), che si ottengono assengnando valori irrazzionali ai parametri m ed n.
riottenendo così alcune terne già viste. Ecco alcuni esempi:
Quaterne pitagoriche Le quaterne pitagoriche sono quaterne di numeri (a, b, c, d) che verificano il teorema di Pitagora nello spazio, ovvero:
Dove a, b, c sono le dimensioni di un parallelepipedo rettangolo e d è il valore della diagonale interna. Per ottenere quaterne pitagoriche con numeri naturali, è sufficiente sfruttare le terne pitagoriche descritte sopra, ne seguente modo: in una terna pitagorica sostituire i valori di un cateto con quelli di altri due cateti di un'altra terna, avente per ipotenusa il cateto iniziale, ad esempio nella terna (5, 12,13), al posto del 5 mettiamo (3, 4) che corrispondono alla terna con ipotenusa 5, e otteniamo la quaterna (3, 4, 12, 13). Ovviamente vale sempre la regola che è possibile ottenere altre quaterne moltiplicando per un numero i quattro valori della quaterna iniziale. Ecco alcuni esempi:
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