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CONTENUTO DELLA PAGINA
Definizioni e svolgimento
Esempi
Definizioni e svolgimento
Ricordiamo che anche una disquazione, come una equazione, può esser intera, oppure fratta.
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Una disequazione è detta fratta se compare un'incognita al denominatore; nel caso non vi siano denominatori, o vi siano solo denominatori numerici, la disequazione è detta intera .
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La risoluzione di una disequazione fratta si svolge in modo simile all'equazione, ma bisogna ricordarsi che i denominatori non possono esser eliminati, in quanto possono far parte della soluzione.
I punti forndamentali da seguire sono:
- si svolgono i calcoli per unificare tutto in un'unica frazione
- si svolgono le operazioni tra le frazioni, rispettando evenutali parentesi: prima le potenze, poi moltiplicazioni e divisioni, infine addizioni e sottrazioni;
- se necessario si scompongono in fattori i denominatori presenti, al fine di semplificare le moltiplicazioni e di calcolare il m.c.m. nelle somme;
- si pongono le condizioni di esistenza (c.e.): ciascun fattore ottenuto nei vari denominatori deve esser diverso da zero;
- si portano tutte le frazioni rimaste in un unico membro, lasciando lo zero dall'altra parte;
- si svolgono le ultime addizioni e sottrazioni tra le frazioni, unificando tutte le frazioni;
- si studia la frazione finale ottenuta
- una volta ottenuta un'unica frazione, si svolge lo studio del segno di ogni fattore del numeratore e del denominatore: ogni fattore, separatamente, si pone maggiore di zero (indipendentemente dal segno della disequazione);
- si risolvono le mini-disequazioni ottenute, segnandosi i vari risultati da inserire nella tabella;
- si compila la tabella dello studio del segno della frazione, in maniera analoga a quanto visto con le disequazioni di grado superiore;
- si calcolano i risultati dei segni e si confrontano i segni ottenuti dalla tabella con la richiesta della disequazione e con le eventuali soluzioni trovate con le condizioni di esistenza iniziali.
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Esempi
Come avviene per le equazioni fratte, anche nelle disequazioni fratte occorre per prima cosa lavorare sulle espressioni al primo e al secondo membro, al fine di semplificare la disequazione e poterla studiare più facilmente; una volta ottenuta un'unica frazione, si studiano separatamente i fattori del numeratore e del denominatore; quindi i diversi risultati ottenuti si trascrivono nella tabella per lo studio del segno; vediamo alcuni esempi.
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Esempio 15. Risolviamo la disequazione:
Svolgimento: essendo presente una sola frazione, non dobbiamo calcolare il m.c.m.; scomponiamo in fattori il numeratore (riconoscendo la somma per differenza) e denominatore (raccogliendo a fattor comune e poi riconoscendo il quadrato di binomio):
| (x +1)(x − 1)x (x + 1)² |
≤ 0 |
In realtà era necessario scomporre solo il denominatore, tuttavia il numeratore sarebbe stato studiato a breve, per cui ci siamo avvantaggiati.
Poniamo le c.e.: ogni fattore del denominatore (senza esponenti) deve esser diverso da zero.
- x ≠ 0 (già risolto)
- x + 1 ≠ 0 ⇒ se x ≠ −1
Al numeratore compaiono due fattori (che indicheremo con n1 e n2),come pure al denominatore (indicati con d1 e d2).
Studiamo il segno di questi fattori; in particolare il secondo fattore del denominatore, essendo un quadrato di binomio, è quasi sempre positivo (caso &Delta = 0)
- n1 > 0 ⇒ se x > −1
- n1 > 0 ⇒ se x > +1
- d1 > 0 ⇒ se x > 0
- d2 > 0 ⇒ se x ≠ −1
Compiliamo la tabella per lo studio del segno della frazione:
| x |
|
-1 |
|
0 |
|
1 |
|
| n1 |
− |
0 |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
| n2 |
− |
− |
− |
− |
− |
0 |
+ |
| d1 |
− |
− |
− |
∄ |
+ |
+ |
+ |
| d2 |
+ |
∄ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
| F |
− |
∄ |
+ |
∄ |
− |
0 |
+ |
Riprendiamo la disequazione dall'ultimo passaggio svolto: ci chiedeva di individuare quando la frazione fosse minore o uguale a zero, quindi non positiva.
Di conseguenza dobbiamo prendere gli intervalli in cui all'ultima riga della tabella compare il segno meno o lo zero.
Conclusione: la soluzione è quindi l'insieme:
S = { x < −1 ∨ 0 < x ≤ −2 }
Osservazione: nonostante all'inizio nella disequazione comparisse anche l'uguale (≤) nella soluzione non sempre è stato inserito, in quanto i valore −1 e 0 non erano accettabili per le c.e.
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Esempio 16. Risolviamo la disequazione:
| x + 1x + 3 |
− |
1 − xx + 2 |
> |
4x² + 5x + 6 |
Svolgimento: Iniziamo spostando tutte le frazioni al primo membro, per poi unificarle in un unico denominatore.
| x + 1x + 3 |
− |
1 − xx + 2 |
− |
4x² + 5x + 6 |
> 0 |
Esaminiamo ora i denominatori presenti; ci accorgiamo che solo l'ultimo denominatore può esser scomposto, essendo un trinomio speciale di 2° grado.
| x + 1x + 3 |
− |
1 − xx + 2 |
− |
4(x + 3)(x + 2) |
> 0 |
Poniamo le c.e.: ogni denominatore deve esser diverso da zero; studiamo quindi i fattori ottenuti (senza ripere quelli uguali).
- x + 2 ≠ 0 ⇒ se x ≠ −2
- x + 3 ≠ 0 ⇒ se x ≠ −3
Il m.c.m. si ottiene moltiplicando tra loro i tutti fattori che compaiono nei denominatori, prendendoli una sola volta e con l'esponente maggiore. Nel nostro caso il m.c.m. è:
(x + 2)(x + 3)
Unifichiamo le tre frazioni sotto un unico denominatore, ottenuto calcolando l'm.c.m. tra i tre denominatori.
| (x + 1)(x + 2) + (1 − x)(x + 3) − 4(x + 2)(x + 3) |
> 0 |
Dopo aver svolto i calcoli e ridotto ai minimi termini al numeratore, ottenuamo:
Al numeratore compare un solo fattore (che indicheremo con n1), mentre al denominatore ne compaiono due (indicati con d1 e d2). Studiamo il segno di questi fattori
- n1 > 0 ⇒ se x > −1
- d1 > 0 ⇒ se x > −2
- d2 > 0 ⇒ se x > −3
Compiliamo la tabella per lo studio del segno della frazione:
| x |
|
-3 |
|
-2 |
|
-1 |
|
| n1 |
− |
− |
− |
− |
− |
0 |
+ |
| d1 |
− |
− |
− |
∄ |
+ |
+ |
+ |
| d2 |
− |
∄ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
| F |
− |
∄ |
+ |
∄ |
− |
0 |
+ |
Riprendiamo la disequazione dall'ultimo passaggio svolto: ci chiedeva di individuare quando la frazione fosse maggiore di zero, quindi positiva.
Di conseguenza dobbiamo prendere gli intervalli in cui all'ultima riga della tabella compare il +.
Conclusione: la soluzione è quindi tra −3 e −2, o anche dopo −1; in formule:
S = { −3 < x < −2 ∨ x > −1 }
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