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CONTENUTO DELLA PAGINA
Segno del polinomio di 2° grado
Risoluzione di una disequazione di 2° grado
Regole:
generale ♦ parabola ♦
concordanza ♦ scomposizione
Segno del polinomio di 2° grado
Una disequazione di 2° grado è in forma normale se, dopo aver svolto tutti i calcoli algebrici e aver applicato i principi di equivalenza, otteniamo un primo membro formato da un polinomio di 2° grado (generalmente con tre termini) e un secondo membro uguale a zero.
Risolvere una disequazione di 2° grado corrisponde quindi a studiare il segno di un polinomio di 2° grado, ovvero (in termini più chiari) studiare se il valore che il polinomio assume per determinati valori di x, è positivo o negativo.
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Esempio 5. Studiamo, per x = 0, 1, 2, 3, il segno del trinomio di 2° grado:
P(x) = x² − 7x + 10
Esso assume valori diversi, al variare del valore di x:
- se x = 0, allora P(0) = 10
- se x = 1, allora P(1) = 4
- se x = 2, allora P(2) = 0
- se x = 3, allora P(3) = −2
Di conseguenza diremo che tale polinomio è positivo per x che vale 0 e 1, è nullo per x = 2, ed è negativo per x = 3.
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Ovviamente studiare il segno di un polinomio non vuol dire andare per tentativi, o provare solo alcuni valori dell'incognita, ma stabilire, relativamente a tutto l'insieme dei numeri reali, per quali di essi il polinomio è positivo, per quali è nullo e per quali è negativo.
Per studiare tale polinomio esistono diverse tecniche e molte scorciatoie, ma bisogna tener presente alcune proprietà fondamentali, che sono di aiuto per lo studio del polinomio, e quindi della disequazione.
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Il segno di un polinomio di 2° grado ax² + bx + c dipende da:
- il coefficiente direttore a:
il polinomio assume quasi sempre lo stesso segno di a;
- il discriminiante Δ dell'equazione associata:
se Δ è negativo, il segno del polinomio non cambia; se è positivo, il segno cambia;
- gli eventuali zeri dell'equazione associata:
eventuali cambi di segno si hanno in corrispondenza degli zeri.
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Vediamo ora in dettaglio alcune regole per determinare le soluzioni di una disequazione di 2° grado, tenendo presente le considerazioni appena viste.
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Risoluzione di una disequazione di 2° grado
Ricordando che gli zeri di un polinomio di 2° grado P(x) e il suo segno dipendono dal coefficiente a e dal Δ, possiamo fare uno studio completo delle soluzioni di una disequazione di 2° grado; (nel caso abbiate difficoltà a visualizzare le tabelle e gli schemi seguenti, nella sezione Download potete scaricare una tabella chiara e completa, in formato pdf).
Di seguito sono indicate alcune regole utili per determinare le soluzioni di una disequazione di 2° grado, in cui si studia il segno di un polinomio:
P(x) = ax² + bx + c
dove con x₀ indichiamo la sola soluzione nel caso Δ = 0, e con x₁ e x₂ indichiamo le due soluzioni nel caso Δ > 0 (con x₁ < x₂).
1. Regola generale
Dopo aver determinato il Δ ed eventualmente trovato le soluzioni dell'equazione associata, le soluzione della disequazione si determinano a seconda del segno di a e di Δ, secondo i seguenti casi:
| Δ>0 | Diseq. | Se a>0 | Se a<0 |
|---|
| P(x) > 0 | x<x₁ ∨ x>x₂ |
x₁ < x < x₂ |
| P(x) ≥ 0 | x≤x₁ ∨ x≥x₂ |
x₁ ≤ x ≤ x₂ |
| P(x) < 0 | x₁ < x < x₂ |
x<x₁ ∨ x>x₂ |
| P(x) ≤ 0 | x₁ ≤ x ≤ x₂ |
x≤x₁ ∨ x≥x₂ |
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| Δ=0 | Cond. iniz. | Se a > 0 | Se a < 0 |
|---|
| P(x) > 0 | ∀x ≠ x₀ |
∄x ∈ ℝ |
| P(x) ≥ 0 | ∀x ∈ ℝ |
x = x₀ |
| P(x) < 0 | ∄x ∈ ℝ |
∀x ≠ x₀ |
| P(x) ≤ 0 | x = x₀ |
∀x ∈ ℝ |
| | | | |
| Δ<0 | Cond. iniz. | Se a > 0 | Se a < 0 |
|---|
| P(x) > 0 | ∀x ∈ ℝ |
∄x ∈ ℝ |
| P(x) ≥ 0 | ∀x ∈ ℝ |
∄x ∈ ℝ |
| P(x) < 0 | ∄x ∈ ℝ |
∀x ∈ ℝ |
| P(x) ≤ 0 | ∄x ∈ ℝ |
∀x ∈ ℝ |
Troppo complicato? Possiamo usare regole più veloci che, con un minimo ragionamento in più, ci aiutano a risolvere una qualunque disequazione di 2° grado, senza dover imparare a memoria tutto questo schema!
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2. Regola della parabola
Il metodo più diffuso per risolvere una disequazione di 2° grado in forma normale, è quello di passare per la rappresentazione grafica della parabola associata a tale disequazione.
Consideriamo il polinomio: P(x) = ax² + bx + c. Possiamo associare ad esso la parabola di equazione:
y = ax² + bx + c
e rappresentarla graficamente nel piano cartesiano. Osservando le zone della parabola che si trovano sopra e sotto l'asse x, vale la seguente regola:
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Regola della parabola
I punti della parabola sull'asse x corrispondono ai punti che verificano l'equazione P(x) = 0.
I punti della parabola aventi la y positiva corrispondono ai punti che verificano la disequazione P(x) > 0.
I punti della parabola aventi la y negativa corrispondono ai punti che verificano la disequazione P(x) < 0.
♦ ♦ ♦
L'insieme delle soluzioni è formato dagli intervalli sull'asse x corrispondenti ai punti trovati.
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3. Regola della concordanza
Questa regola è una scorciatoia, che permette di riassumere lo schema generale in meno casi.
Diremo che in una disequazione di 2° grado in forma normale c'è concordanza se il segno del coefficiente a è concorde al verso della disequazione, ossia che lui da solo, senza le x e senza i coefficienti b e c, verificherebbe la disequazione.
Al contrario diremo che c'è discordanza se il segno del coefficiente a non è concorde al verso della disequazione.
Possiamo quindi riassumere la regola della concordanza nel seguente schema.
In forma ancora più schematica, nel caso in cui ci sono due zeri distinti si ha:
Ovviamente negli altri due casi l'intervallo interno scompare, mentre quelli esterni si collegano tra loro.
Per semplicità in questo schema non sono stati inseriti i casi misti (≤, ≥), che però si possono ricavare facilmente unendo gli zeri con i relativi casi di concordanza o di discordanza.
Vediamo ora alcuni esempi in cui applicare questa comoda regola.
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Esempio 6. Risolviamo la disequazione:
x² − 8x − 9 ≥ 0
L'equazione associata è
x² − 8x − 9 = 0
Risolvendo tale equazione, otteniamo che ha due zeri distini: −1 e 9,
In questa disequazione c'è concordanza poiché il coefficiente a = 1, e il verso della disequazione è "≥ 0", quindi 1 ≥ 0 è una disuguaglianza vera: dobbiamo prendere gli intervalli esterni ai due zeri trovati.
Conclusione: l'insieme delle soluzioni della disequazione iniziale è:
S = { x < −1 ∨ x > 9 }
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Esempio 7. Risolviamo la disequazione:
2x² − 4x + 8 < 0
Al contrario in questa disequazione c'è discordanza poiché il coefficiente a = 2, e il verso della disequazione è "< 0", quindi 2 < 0 è una disuguaglianza falsa.
L'equazione associata non ammette zeri (il Δ è negativo) per cui il polinomio assume sempre lo stesso segno (quello del coefficiente a), non essendoci né zeri, né l'intervallo interno ad essi.
Conclusione: l'insieme delle soluzioni è l'insieme vuoto, ossia:
S = { ∄x ∈ ℝ } = ∅
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Esempio 8. Risolviamo la disequazione:
−5x² + x − 4 > 0
L'equazione associata ha delta positivo e quindi due zeri distinti, che sono −4/5 e 1.
Nella disequazione c'è nuovamente discordanza poiché il coefficiente a = −5, e il verso della disequazione è "> 0", quindi −5 > 0 non è una disuguaglianza falsa: la disequazione avrà come soluzione l'intervallo compreso tra i due zeri.
Conclusione: la soluzione è data dall'insieme:
S = { −4/5 ≤ x ≤ 1 }
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Esempio 9. Risolviamo la disequazione:
−2x² + 8x − 8 ≤ 0
L'equazione associata ammette due soluzioni coincidenti (Δ = 0), quindi vi è un unico zero x = 2; perciò il polinomio assume quasi sempre lo stesso segno (quello del coefficiente a), essendoci un unico zero, e mancando l'intervallo interno.
In questa disequazione c'è concordanza poiché il coefficiente a = −2, e il verso della disequazione è "≤ 0", quindi −2 ≤ 0 è una disuguaglianza vera; dovendo prendere gli zeri e gli intervalli esterni, possiamo prendere tutti i numeri reali.
Conclusione: l'insieme delle soluzioni è dato da tutto l'insieme dei numeri reali:
S = { ∀x ∈ ℝ } = ℝ
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4. Regola della scomposizione
Il modo migliore per trovare l'insieme delle soluzioni di una disequazione è scomporre in fattori il polinomio di 2° grado, e studiare separatamente il segno dei singoli fattori.
Dal momento che questa regola può esser applicata a polinomi di ogni grado, tale regola è descritta in dettaglio nella pagina successiva.
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