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Teoria
Regola di Ruffini
Esempi
Teoria
La regola di Ruffini è un algoritmo molto utile per ridurre di grado un polinomio fattorizzabile; è utilizzato per effettuare la divisione tra un polinomio P(x) per un binomio (x − a), usando solo i coefficienti, senza le incognite; alla base di questo algoritmo c'è il seguente teorema:
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Teorema del resto
Il resto della divisione tra un qualunque polinomio P(x) e un binomio (x − a), è uguale P(a),
ossia al valore che il polinomio P(x) assume sostituendo alla x il valore a.
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Questo teorema ci permette di stabilire se effettivamente un polinomio è divisibile per un binomio; infatti:
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Teorema di Ruffini
Un polinomio P(x) è divisibile per un binomio (x − a), se e solo se P(a) = 0.
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Ricordiamo che se P(x) ha grado n, il polinomio quoziente Q(x) ha grado (n − 1); il resto deve avere grado minore del grado del divisore, quindi ha grado zero: è un numero.
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Regola di Ruffini
Ecco i passaggi dell'algoritmo per effettuare i calcoli.
Si crea una tabella di tre righe, nel seguente modo:
- sulla prima riga, a partire dalla seconda cella, si scrivono i coefficienti di P(x);
- i coefficienti devono essere scritti in ordine, da quello di grado più alto fino al termine noto;
- se non è presente un determinato grado, si scrive uno zero in quella posizione;
- sulla seconda riga, nella prima cella, si scrive il termine noto del divisore, cambiato di segno;
- quindi se il divisore è (x − a), dobbiamo scrivere a;
- il resto della seconda riga è utilizzato per i calcoli;
- nella terza riga compariranno i coefficienti del risultato;
Una volta creata la tabella, si opera nel seguente modo:
- il primo coefficiente della prima riga si copia sotto, nella terza riga;
- si moltiplica questo valore per a e il risultato si scrive nella seconda riga, sotto il secondo coefficiente;
- si fa la somma algebrica tra questo risultato e il secondo coefficiente, e si scrive sotto, nela terza riga;
- si ripetono i punti 2 e 3, lavorando nelle colonne successive, fino ad arrivare al termine noto;
- il risultato della somma algebrica nella'ultima colonna è il resto della divisione;
- gli altri numeri sulla terza riga sono i coefficienti di Q(x).
Infatti Q(x) ha grado (n − 1), quindi ha un termine in meno di P(x).
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Esempi
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Esempio 11. Svolgiamo la divisione:
(x³ + 5x² + 2x + 6) ∶ (x + 3).
Costruiamo la tabella e iniziamo ad operare:
1. il primo coefficiente della prima riga (+1) si copia sotto, nella terza riga;
2. si moltiplica questo valore per a (−3) e il risultato si scrive nella seconda riga, sotto il secondo coefficiente;
3. si somma questo risultato (−3) con il secondo coefficiente (+5), e si scrive sotto, nella terza riga;
4. si ripetono i punti 2 e 3, lavorando nelle colonne successive, fino ad arrivare al termine noto (+6);
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+1 |
+5 |
+2 |
+6 |
| −3 |
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−3 |
−6 |
+12 |
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+1 |
+2 |
−4 |
+18 |
5. il risultato della somma algebrica nella'ultima colonna è il resto della divisione (+18);
6. gli altri numeri sulla terza riga sono i coefficienti del polinomio quoziente Q(x)
Conclusione: Il quoziente della divisione è il polinomio di II grado:
Q(x) = x² + 2x − 4.
Il resto è R = 18.
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Esempio 12. Dividiamo il polinomio
P(x) = x4 − 6x − 4
per il binomio
D(x) = x − 2.
Osservazione: mancano i termini di II e III grado, quindi nella tabella dobbiamo lasciare due spazi vuoti.
Costruiamo la tabella e iniziamo ad operare:
1. il primo coefficiente della prima riga (+1) si copia sotto, nella terza riga;
2. si moltiplica questo valore per a (+2) e il risultato si scrive nella seconda riga, sotto il secondo coefficiente;
3. si somma questo risultato (+2) con il secondo coefficiente (0), e si scrive sotto, nella terza riga;
4. si ripetono i punti 2 e 3, lavorando nelle colonne successive, fino ad arrivare al termine noto (−4);
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+1 |
0 |
0 |
−6 |
−4 |
| +2 |
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+2 |
+4 |
+8 |
+4 |
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+1 |
+2 |
+4 |
+2 |
0 |
5. il risultato della somma algebrica nella'ultima colonna è il resto della divisione (0);
6. gli altri numeri sulla terza riga sono i coefficienti di Q(x).
Conclusione: Il quoziente della divisione è il polinomio di II grado:
Q(x) = x³ + 2x² + 4x + 2.
Il resto è R = 0.
Osservazione: il polinomio P(x) è divisibile per Q(x), in quanto il resto è 0, per cui possiamo scrivere la scomposizione:
(x4 − 6x − 4) →
(x³ + 2x² + 4x + 2) · (x − 2)
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Nella sezione download è possibile scaricare un file excel (.xls) con una tabella per il calcolo automatico mediante la regola di Ruffini.
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