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CONTENUTO DELLA PAGINA
Insiemi particolari
Operazioni tra insiemi
Insiemi particolari
Il concetti di insieme è un concetto primitivo, non possiede quindi una vera e propria definizione (vedi: Assiomi).
Un insieme, generalmente denominato con una lettera maiuscola (A, B, ...), è una collezione di elementi, che lo caratterizzano univocamente: insiemi che hanno gli stessi elementi coincidono.
L'insieme vuoto (∅) è l'insieme che non contiene alcun elemento, mentre un insieme che contiene tutti gli elementi presi in considerazione è chiamato insieme universo e si indica con la U. L'insieme U dipende quindi dal tipo di elementi che stiamo studiando.
La cardinalità di un insieme A è il numero degli elementi che appartengono ad A e si indica con card (A) o con |A|.
Ad esempio card (∅) = 0.
Un insieme A è un sottoinsieme di un insieme B, e si scrive A ⊆ B oppure B ⊇ A, se tutti gli elementi di A appartengono anche a B. Quindi card (A) ≤ card (B) e inoltre:
- ∅ è un sottoinsieme banale di ogni insieme;
- ogni insieme è un sottoinsieme di U.
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Operazioni tra insiemi
Intersezione . Due insiemi A e B possono avere alcuni elementi in comune; l'insieme costituito dagli elementi apparteneti sia ad A che a B è chiamato intersezione tra A e B, e si indica con A ∩ B.
L'intersezione tra due insiemi è un sottoinsieme dei due insiemi; due insiemi aventi come intersezione l'insieme vuoto si dice che sono insiemi disgiunti .
Unione (inclusiva). L'insieme costituito dagli elementi appartenenti ad A o anche a B è chiamato unione tra A e B e si indica con A ∪ B. Di conseguenza sia A che B sono sottoinsiemi di A ∪ B.
Osservazione: l'insieme unione non sempre è la somma dei due insiemi, in quanto gli elementi in comune vanno considerati una volta sola (non ci sono ripetizioni).
Se A ⊆ B allora: A ∩ B = A, e A ∪ B = B
Riguardo alle operazioni di unione ed intersezione, diciamo che gli insiemi A, B, C, … formano una partizione dell'insieme universo, se:
- la loro intersezione a due a due è sempre l'insieme vuoto (sono a due a due disgiunti);
- la loro unione totale forma l'insieme universo (coprono tutto l'insieme universo).
Complementare (assoluto). Il complementare di un insieme A è l'insieme formato da tutti gli elementi che non appartengono ad A, e si indica con Ac, con ∁(A) o con Ā.
Un insieme A e il suo complementare Ac formano una partizione dell'insieme universo.
Differenza (semplice). L'insieme costituito dagli elementi appartenenti ad A che però non appartengono a B è chiamato differenza tra A e B oppure complementare reltivo di B in A e si indica con A∖B.
La differenza tra due insiemi non è commutativa: A∖B in genere è diverso da B∖A.
Inoltre A∖B è un sottoinsieme di A.
Differenza simmetrica . L'insieme costituito dagli elementi che appartengono o ad A oppure a B, ma non ad entrambi è chiamato differenza simmetrica o unione esclusiva, tra A e B e si indica con A Δ B.
La differenza simmetrica tra due insiemi è commutativa, e corrisponde alla differenza semplice tra l'unione e l'intersezione tra i due insiemi.
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Esempio 3. Studiamo i seguenti insiemi, calcolandone l'intersezione, l'unione e le varie differenze.
A = insieme dei primi 8 numeri primi
B = insieme di tutti i naturali più piccoli di 10
Svolgimento. Scriviamo i due insiemi per elencazione:
A = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 }
B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A possiede 10 elementi, per cui card (A) = 8, mentre card (B) = 9 come è facile verificare contando gli elementi.
Intersezione: A ∩ B = { 2, 3, 5, 7 } ossia tutti i numeri primi minori di 10.
card (A ∩ B) = 4.
Unione: A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 17, 19 } ossia i primi 8 numeri primi, insieme con i numeri naturali minori di 10.
card (A ∪ B) = 13.
Differenza: A∖B = { 11, 13, 17, 19 } ossia i primi 8 numeri primi, meno i numeri minori di 10.
card (A∖B) = 4.
Differenza: B∖A = { 1, 4, 6, 8, 9 } ossia i naturali minori di 10 che non siano primi.
card (B∖A) = 5.
Differenza simmetrica: A Δ B = { 1, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 17, 19 } ossia i numeri naturali che siano minori di 10 ma non primi, oppure tra i primi 8 posti ma maggiori di 10.
card (A ∪ B) = 9.
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Nella sezione download sono presenti due file che spiegano in maniera schematica le operazioni fra insiemi.
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