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Introduzione - Dominio - Proprietà - Altre proprietà - Intersezioni - Segno

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CONTENUTO DELLA PAGINA
Funzioni pari e dispari
Funzioni periodiche
Funzioni monotone
Funzioni composte

Funzioni pari e dispari

Le funzioni pari e le funzioni dispari sono particolari funzioni il cui grafico presenta delle simmetrie molto particolari.

Una funzione è pari se:

f(−x) = f(x) ∀ x ∈ D

La caratteristica di una funzione pari è che l'immagine non dipende dal segno della x, infatti cambiando di segno alla x, otteniamo la stessa immagine.

Il comportamento di una funzione pari è quello una qualunque potenza con esponente pari; inoltre graficamente una funzione pari ha il grafico simmetrico rispetto all'asse y.

Esempi di funzioni pari sono:

f(x) = k (costante);
f(x) = x²
f(x) = x⁴
f(x) = | x |
f(x) = cos(x)
f(x) = sec(x)

Per verificare algebricamente se una funzione è pari, occorre calcolare f(−x) e, svolgendo i calcoli, studiare se corrisponde ad f(x) iniziale.

Dalle proprietà aritmetiche dei segni, si osserva che:

se sommiamo algebricamente due funzioni pari, otteniamo una funzione pari;
se componiamo due funzioni pari, otteniamo una funzione pari.
se moltiplichiamo o dividiamo due funzioni pari, otteniamo una funzione pari;

Inolte se f(x) è una funzione pari e g(x) una funzione qualunque, allora:

g( f(x)) è ancora una funzione pari (non sempre vale al contrario).

Osserviamo infine che le funzioni pari sono, per loro natura, non iniettive, in quanto esistono sempre due valori di x che hanno la stessa immagine y.

Possiamo definire in modo simile le funzioni dispari.

Una funzione è dispari se:

f(−x) = − f(x) ∀ x ∈ D

La caratteristica di una funzione dispari è che l'immagine dipende in modo diretto dal segno della x, infatti cambiando di segno alla x, otteniamo che anche immagine cambia segno.

Il comportamento di una funzione dispari è quello una qualunque potenza con esponente dispari; inoltre graficamente una funzione dispari ha il grafico simmetrico rispetto all'origine degli assi.

Esempi di funzioni dispari sono:

f(x) = x
f(x) = x³
f(x) = x⁵
f(x) = 1 ⁄ x
f(x) = sen(x)
f(x) = tan(x)

Per verificare algebricamente se una funzione è dispari, occorre calcolare f(−x) e, svolgendo i calcoli, studiare se corrisponde all'opposto preciso di f(x) iniziale.

Alcune osservazioni

Dalle proprietà aritmetiche dei segni, si osserva che:

se sommiamo algebricamente due funzioni dispari, otteniamo una funzione dispari;
se componiamo due funzioni dispari, otteniamo una funzione dispari.

Ma attenzione:

se moltiplichiamo o dividiamo due funzioni dispari, otteniamo invece una funzione pari;
se moltiplichiamo o dividiamo una funzione pari e una dispari, otteniamo una funzione dispari;

Teniamo conto che la maggior parte delle funzioni non sono né pari, né dispari.

L'unica funzione ad esser contemporaneamente sia pari sia dispari, è la funzione nulla: f(x) = 0. In tutti gli altri casi abbiamo che:

se una funzione è pari, allora sicuramente non è dispari;
se è dispari, sicuramente non è pari.

Esempio 7. Studiamo se sono pari o dispari le seguenti funzioni:

f(x) =	2x² + 1 5 − \| x \|
g(x) =	x² − 4 x³
h(x) =	x² + 4x + 3 x + 1

Svolgimento. Studiamo separatamente le tre funzioni.

♦ Partiamo dalla prima funzione, e per prima cosa studiamo f(−x):

f(−x) =	2(−x)² + 1 5 − \| −x \|	=
=	2x² + 1 5 − \| x \|	= f(x)

Abbiamo verificato che f(−x) = f(x), quindi la funzione f è pari.

♦ Studiamo in modo analogo la seconda funzione:

g(−x) =	(−x)² − 4 (−x)³	=
=	x² − 4 −x³	=
= −	x² − 4 x³	= − g(x)

Abbiamo verificato che g(−x) = −g(x), quindi la funzione g è dispari.

♦ Studiamo infine la terza funzione:

h(−x) =	(−x)² + 4(−x) + 3 (−x) + 1	=
=	x² − 4x + 3 − x + 1

La funzione h(−x) è un'espressione diversa da h(x) e da −h(x), quindi la funzione h non è né pari, né dispari.

Conclusione: la funzione f(x) è pari, la funzione g(x) è dispari, mentre la funzione h(x) non è né pari, né dispari.

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Funzioni periodiche

Le funzioni periodiche sono, come dice il nome, funzioni i cui valori si ripetono periodicamente ad intervalli regolari.

Una funzione è periodica se riassume valori uguali dopo intervalli regolari.

Ossia se esiste un determinato valore T, chiamato periodo, per il quale:

f(x + T) = f(x) ∀ x ∈ D

Quindi una funzione periodica ha un grafico che si ripete lungo l'asse x in modo regolare.

Osserviamo che le funzioni periodiche sono, per loro natura, non iniettive.

Le principali funzioni periodiche sono le funzioni goniometriche: le funzioni seno, coseno, secante, cosecante hanno periodo T = 2π radianti; infatti se ad un qualunque angolo aggiungiamo 2π, otteniamo un nuovo angolo avente gli stessi valori di tali funzioni, ad esempio:

sen(0) = sen(2π) = sen(4π) = …

O anche:

cos(π/3) = cos(π/3 + 2π) = cos(π/3 + 4π) = …

Le funzioni tangente e cotangente hanno periodo T = π radianti, in quanto i loro valori si ripetono con una frequenza doppia.
Per approfondire, vedi le pagine sui grafici delle funzioni goniometriche.

Al contrario, le funzioni goniometriche inverse non sono periodiche, poiché ottenute da una limitazione del Dominio: infatti per ottenere una funzione invertibile, occorre che la funzione iniziale sia iniettiva (e le funzioni periodiche non lo sono), e per ottenere ciò dobbiamo limitare il Dominio.

Normalmente le funzioni che non coinvolgono le funzioni goniometriche non sono periodiche; ci sono casi particolari, tipo la funzione frazionaria:

f(x) = x − ⎣x⎦

Dove l'espressione ⎣x⎦ indica la parte intera del valore di x; tale funzione è periodica di periodo 1 e associa ad ogni numero reale la propria parte decimale.

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Funzioni monotone

Le funzioni monotone (si legge monòtone), al contrario delle periodiche, sono funzioni i cui valori variano e questa variazione è sempre dello stesso tipo: o crescente, o decrescente.

Una funzione è crescente se all'aumentare delle x aumentano anche le immagini corrispondenti; in particolare:

crescente in senso stretto se: x₁ < x₂ ⇔ ƒ(x₁) < ƒ(x₂)

crescente in senso largo se: x₁ < x₂ ⇔ ƒ(x₁) ≤ ƒ(x₂)

Al contrario è decrescente se all'aumentare delle x diminuiscono le immagini corrispondenti, in particolare:

decrescente in senso stretto se: x₁ < x₂ ⇔ ƒ(x₁) > ƒ(x₂)

decrescente in senso largo se: x₁ < x₂ ⇔ ƒ(x₁) ≥ ƒ(x₂)

In generale quindi possiamo dire che:

Una funzione è definita monotona se è crescente o è descrescente (in senso stretto o largo).

Le funzioni monotone in senso stretto sono molto importanti poiché spesso sono funzioni iniettive, di conseguenza con un opportuno Codominio diventano biunivoche, quindi invertibili.

Infine, anche se una funzione non è monotona, è possibile studiare i suoi intervalli di monotonia, ossia le zone in cui la funzione è crescente e quelle in cui è decrescente: tale studio in genere è possibile farlo tramite il calcolo delle derivate (vedi lo studio degli intervalli di monotonia).

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Funzioni composte

Le funzioni composte sono funzioni che si ottengono componendo (per l'appunto) due o più funzioni.

Ma cosa vuol dire comporre due funzioni? Vuol dire applicare in sequenza le due funzioni, in modo tale che l'immagine finale che si ottiene sia "l'immagine dell'immagine" del valore di partenza.

Date due funzioni f e g, la funzione composta, che si indica f ∘ g è una funzione che associa ad ogni valore x il risultato f(g(x)).

Ossia prima mi trovo l'immagine tramite la funzione g di x, poi l'immagine tramite la funzione f della g(x) appena ottenuta.
Osserviamo che con questa scrittura, la prima funzione ad esser applicata è quella scritta a destra, mentre quella scritta a sinistra si applica al risultato della prima; inoltre la composizione non gode della proprietà commutativa: in genere f ∘ g ≠ g ∘ f

Se f : D_f → C_f, e se g : D_g → C_g, allora per poter commporre f e g è necessario che:

per poter ottenere f∘g, deve esser C_g ⊆ D_f
per poter ottenere g∘f, deve esser C_f ⊆ D_g

Ossia che il Codominio della prima funzione che si applica sia contenuto nel Dominio della seconda funzione.

L'operazione di composizione può anche esser applicata su un'unica funzione con se stessa o anche tra più di due funzioni, iterando il ragionamento appena fatto.

Esempio 8. Proviamo a calcolare le funzioni composte f∘g, g∘f, g∘g, h∘f e f∘g∘h, partendo dalle funzioni seguenti:

f(x) = x²

g(x) = 4x + 6

h(x) =

x + 5 x

Svolgimento. Iniziamo a studiare una per una le cinque funzioni composte.

f ∘ g. L'immagine g(x) diventa l'argomento della funzione f:
f∘g (x) = f (g(x)) = (g(x))²
Sostituiamo quindi l'espressione di g(x):
f∘g (x) = (4x + 6)² = 16x² + 48x + 36
g ∘ f. L'immagine f(x) diventa l'argomento della funzione g:
g∘f (x) = g (f(x)) = 4 f(x) + 6
Sostituiamo quindi l'espressione di f(x):
g∘f (x) = 4x² + 6
g ∘ g. L'immagine g(x) diventa l'argomento della stessa funzione g:
g∘g (x) = g (g(x)) = 4 g(x) + 6
Sostituiamo quindi l'espressione di g(x):
g∘g (x) = 4(4x + 6) + 6 = 16x + 30
h ∘ f. L'immagine f(x) diventa l'argomento della funzione h:

h∘f (x) = h (f(x)) = f(x) + 5 f(x)

Sostituiamo quindi l'espressione di g(x):

h∘f (x) = x² + 5 x²
f ∘ g ∘ h. Partendo da destra, come primo passo l'immagine h(x) diventa l'argomento della funzione g:
g∘h (x) = g (h(x)) = 4 h(x) + 6
Sostituiamo quindi l'espressione di h(x):

g (h(x)) = 4 x + 5 x + 6 = 10x + 20 x

Come secondo passo, l'immagine ottenuta diventa l'argomento della funzione f:
f∘g∘h (x) = f [g (h(x))] = [g (h(x))]²
Infine sostituiamo l'espressione di g(h(x)) che abbiamo calcolato:

f [g (h(x))] = (10x + 20)² x² = 100x² + 400x + 400 x²

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