Esistono due tipi diversi di operazioni tra vettori, chiamate entrambe "prodotto"; ma si differenziano per i calcoli che comportano e per il risultato che si ottiene.
Il prodotto scalare
Da non confondere con quello che abbiamo visto in precedenza (il prodotto tra un vettore e uno scalare), il prodotto scalare è un numero che corrisponde alla somma algebrica dei prodotti tra le coordinate corrispondenti dei due vettori:
Ad esempio il prodotto scalare tra (4, 0, −2) e (2, −1, 3) vale 8 + 0 + (−6) = 2
Da un punto di vista più formale, è così definito:
Il prodotto scalare tra due vettori è un numero dato dal prodotto dei moduli dei due vettori per il coseno dell'angolo tra essi compreso.
In formule: dati due vettori u e v che formano un algolo α tra loro, il prodotto scalare si calcola:
u · v = |u| · |v| · cos(α)
La particolarità di questa operazione è che fornisce un risultato numerico, non un vettore (da qui il nome prodotto scalare). Osserviamo inoltre che non fa differenza se consideriamo l'angolo concavo o convesso tra i due vettori, in quanto il coseno fornisce identici risultati; per convenzione consiederiamo angoli convessi.
Vediamo alcuni casi particolari:
se i vettori sono paralleli e hanno lo stesso verso (α = 0°) allora u · v = |u| · |v| (diventa un prodotto normale);
se i vettori sono paralleli e hanno lo verso opposto (α = 180°) allora u · v = − |u| · |v| (diventa un prodotto normale ma negativo);
se i vettori sono perpendicolari (α = 90°) allora u · v = 0, qualunque sia il modulo dei due vettori; questo ci porta a:
Se il prodotto scalare tra due vettori non nulli vale zero,
allora i due vettori saranno necessariamente perpendicolari.
Osserviamo infine che possiamo calcolare il prodotto scalare tra due vettori anche utilizzando i vettori componenti:
u · v = |u| · |v∣∣| = |u∣∣| · |v|
Esempio 2.Calcoliamo il prodotto scalare tra il vettore a (2, 4, 6) e il vettore b (−3, 0, 3).
Soluzione: avendo le coordinate cartesiane dei due vettori, ma non conoscendo i moduli e l'angolo tra loro, conviene usare il metodo iniziale, ossia sommiamo i prodotti tra le coordinate:
a · b = 2 · (−3) + 4 · 0 + 6 · 3
a · b = −6 + 0 + 18
a · b = 12
Conclusione: il prodotto scalare vale 12.
Esempio 3.Calcoliamo il prodotto scalare tra due vettori cd, lunghi rispettivamente 2 e 5, sapendo che formano tra essi un angolo di 45°.
Soluzione: in questo caso possiamo usare la definizione:
Questo tipo di prodotto è più articolato e complesso del precedente.
Il prodotto vettoriale tra due vettori è un vettore avente:
per modulo il prodotto dei moduli dei due vettori per il seno dell'angolo tra essi compreso
per direzione quella perpendicolare al piano su cui si trovano i due vettori
per verso quello indicato dalla regola della mano destra.
In formule: dati due vettori u e v che formano un algolo α tra loro, il modulo del prodotto vettoriale si calcola:
|u × v| = |u| · |v| · sen(α)
Chiariamo alcuni aspetti: questa operazione fornisce un risultato vettoriale, a differenza del prodotto precedente; inoltre la direzione di questo vettore è fuori dal piano, per cui ha senso studiare il prodotto vettoriale solo se ci troviamo nello spazio a 3 dimensioni. Viceversa, nel piano, possiamo solo studiare il modulo di tale vettore.
È importante l'ordine con cui i due vettori compaiono: u × v è diverso da v × u; questa puntualizzazione ci serve per spiegare la regola citata nella definizione:
Regola della mano destra
Il verso del vettore ottenuto dal prodotto vettoriale è quello che ha il dito medio della mano destra, quando il primo vettore corrisponde al pollice e il secondo all'indice (figura 8).
Figura 8
Un altro modo più intuitivo di capire il verso giusto è il seguente:
♦ se per ruotare il vettore u verso il v dobbiamo muoverci in senso anti-orario, il prodotto vettoriale ha verso uscente dal piano (quindi dal foglio);
♦ se per ruotare il vettore u verso il v dobbiamo muoverci in senso orario, il prodotto vettoriale ha verso entrante nel piano (quindi nel foglio).
Vediamo alcuni casi particolari:
se i vettori sono paralleli (α = 0° o 180°) allora il modulo di u × v vale 0, qualunque verso abbiano;
se i vettori sono perpendicolari (α = 90°) allora il modulo di u × v corrisponde a |u| · |v| (diventa un prodotto normale).
Osserviamo infine che anche in questo caso possiamo calcolare il modulo del prodotto vettoriale tra due vettori utilizzando i vettori componenti:
|u × v| = |u| · |v⊥| = |u⊥| · |v|
Esempio 4.Calcoliamo il modulo del prodotto vettoriale tra due vettori uv, lunghi rispettivamente 4 e 3, sapendo che formano tra essi un angolo di 60°.
Soluzione: applichiamo la definizione:
|u × v| = 4 · 3 · sin(60°)
|u × v| = 12 · 0,87
|u × v| = 10,44
Conclusione: il modulo del prodotto vettoriale vale 10,44.
