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CONTENUTO DELLA PAGINA
Regola generale
Casi particolari
Regola generale per le equazioni di 2° grado.
Un'equazione di 2° grado è un'equazione polinomiale in cui il grado massimo dell'incognita è il secondo.
Un'equazione di 2° grado è in forma normale se sono stati portati tutti i termini al primo membro (lasciando quindi 0 al secondo membro) e sono stati svolti tutti i calcoli algebrici possibili.
Normalmente un'equazione in forma normale possiede quindi solamente tre termini: uno di 2° grado, uno di I grado e un termine noto; ossia del tipo:
Essendo a, b, c numeri reali qualunque, con la condizione che a ≠ 0, per garantirci che l'equazione sia effettivamente di 2° grado.
Un'equazione in forma normale (con a ≠ 0) non può esser indeterminata: può esser solo determinata o impossibile; nel caso sia determinata, può avere al massimo 2 soluzioni distinte.
Il discriminante di una equazione di 2° grado è il valore della seguente espressione:
Dove a, b, c sono i 3 numeri dell'equazione in forma normale.
Il discriminante è di fondamentale importanza, poiché indica quante soluzioni ha l'equazione:
♦ Primo caso: Δ > 0 ♦
In questo caso l'equazione ha esattamente 2 soluzioni (reali) distinte, denominate comunemente x1 e x2.
Per trovari tali soluzioni si può usare la formula risolutiva per le equazioni di 2° grado:
Il ± presente nella formula ci porta a considerare due casi separati, da cui otteniamo le due diverse soluzioni dell'equazione.
Esempio 5. Risolviamo l'equazione:
2 x² + 5 x + 3 = 0
In questo esempio l'equazione è già in forma normale; i coefficienti valgono:
a = 2, b = 5, c = 3
Calcoliamo il discriminante, per stabilire quante soluzioni abbia:
Δ = (5)² − 4(2)(3)
Δ = 25 − 24
Δ = 1
Il discriminante è positivo, di conseguenza l'equazione ha due soluzioni distinte; per trovare tali soluzioni, applichiamo la formula risolutiva:
x1;2 = |
− 5 ± √14 |
= |
− 5 ± 14 |
Studiamo ora i due casi separati del ±, per calcolare separatamente x1 e x2:
x1 = |
− 5 − 14 |
= |
− 64 |
= |
− 32 |
x2 = |
− 5 + 14 |
= |
− 44 |
= −1 |
Conclusione. L'equazione è determinata, possiede due distinte soluzioni che sono i numeri −3/2 e −1.
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Osservazione: nel caso in cui Δ > 0 il polinomio dell'equazione in forma normale si può scomporre in 2 fattori distinti nel seguente modo:
♦ Secondo caso: Δ = 0 ♦
In questo caso l'equazione ha ha 2 soluzioni (reali) coincidenti, quindi un solo zero, denominato comunemente x1.
Tale formula è una semplificazione della formula risolutiva, in quanto non compare la radice del discriminante (il discriminante vale infatti zero).
Esempio 6. Risolviamo l'equazione:
x² − 6 x + 9 = 0
In questo esempio a = 1, b = −6 e c = 9; calcoliamo il discriminante, per stabilire quante soluzioni abbia:
Δ = (−6)² − 4(1)(9)
Δ = 36 − 36
Δ = 0
Il discriminante è nullo, di conseguenza l'equazione ha un'unico zero (avendo due soluzioni coincidenti); applichiamo quindi la formula:
Conclusione. L'equazione è determinata, possiede un unico zero, il numero 3.
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Osservazione: nel caso in cui Δ = 0 il polinomio dell'equazione in forma normale si può scomporre nel quadrato di un binomio nel seguente modo:
♦ Terzo caso: Δ < 0 ♦
L'equazione non ha soluzioni reali, in quanto la radice di un numero negativo non è un numero reale, quindi è impossibile nell'insieme R.
Osservazione: nel caso in cui Δ < 0 il polinomio dell'equazione in forma normale non si può scomporre in fattori, è quindi un polinomio irriducibile.
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Casi particolari
♦ Equazione completa con b pari.
Nel caso in cui l'equazione in forma normale abbia il numero b pari, si può utilizzare una variante della formula risolutiva, la formula ridotta :
Essendo h = b ⁄ 2 e l'espressione sotto la radice h² − ac = Δ ⁄ 4.
Tale formula non è obbligatoria ma, se ci si abitua ad usarla, risolvere alcune equazioni di 2° grado diventerà molto più semplice e veloce.
♦ Equazione incompleta pura "a x² + c = 0".
Un equazione di 2° grado in forma normale è chiamata pura se b = 0, ossia se non compare il termine con la x di primo grado.
Tale equazione è automaticamente impossibile se i numeri a e c hanno lo stesso segno; al contrario se hanno segno diverso le soluzioni dell'equazione si trovano da una versione estremamente semplificata della formula risolutiva:
♦ Equazione incompleta spuria "a x² + b x = 0".
Un equazione di 2° grado in forma normale è chiamata spuria se c = 0, ossia se non compare il termine noto dell'equazione.
Tale equazione è sempre determinata e le soluzioni si trovano raccogliendo la x a fattor comune e applicando la legge di annullamento del prodotto:
♦ Equazione incompleta monomia "a x² = 0".
Un equazione di 2° grado in forma normale è chiamata monomia se b = c = 0, ossia se non compaiono i termini noto e di primo grado.
Tale equazione è sempre determinata e le soluzioni sono sempre coincidenti e uguali a 0.
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