Introduzione - I grado - II grado - Gradi sup. - Fratte - Moduli - Irrazionali

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CONTENUTO DELLA PAGINA
L'operazione radice
Le equazioni con più di un modulo

L'operazione radice

Ricordiamo che l'operazione di estrazione a radice è l'operazione inversa all'operazione di elevamento a potenza.

È necessario, prima di andare avanti, fare una importante osservazione.

• Nel caso l'indice n sia un numero dispari, x può esser un qualunque numero reale e y sarà un numero reale con lo stesso segno di x: se x è positivo, y è positivo; se x è negativo, y è negativo; se x è 0, y è 0.
• Nel caso l'indice n sia un numero pari, x non può esser negativo; y in linea teorica può avere due valori opposti, ma per evitare ambiguità, per convenzione si sceglie quello positivo.

Di conseguenza i radicali con indice pari necessitano di condizioni di esistenza: il radicando deve esser maggiore o uguale a zero.
Inoltre ogni volta che vediamo il simbolo di radice quadrata (o con ogni altro indice pari) senza alcun segno davanti, diamo per scontato che davanti ci sia il segno più; nel caso volgiamo indicare il caso negativo o entrambe le possibilità dobbiamo specificarlo con gli opportuni segni (− oppure ±).

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Le equazioni irrazionali intere

In una equazione in cui compaiono operazioni di radici, se i radicandi sono espressioni letterali (ossia se dentro la radice compaiono lettere) si parla di equazione irrazionale.

♦ Equazioni con radicali di indice dispari

Nel caso i radicali abbiano indice dispari, risolvere l'equazione è relativamente semplice; nel caso sia presente un solo radicale:

1. si spostano tutti i termini fuori dalla radice da una parte dell'uguale, mentre il radicale viene lasciato solo dall'altra parte (possibilmente in modo che abbia segno positivo);
2. si elevano entrambi i membri dell'equazione alla potenza opportuna per annullare la radice;
3. si risolve l'equazione algebrica ottenuta.

Se è presente più di un radicale, occorre isolare un radicale alla volta, elevando più volte i membri dell'equazione, in modo da annullare di volta in volta tutte le radici presenti.

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♦ Equazioni con radicali di indice pari

Nel caso i radicali abbiano indice pari, per risolvere l'equazione è necessario svolgere alcuni passaggi in più, rispetto alla situazione precedente; se nell'equazione è presente un solo radicale, si procede nel seguente modo:

1. si pone la condizione di esistenza (c.e.): il radicando deve esser maggiore o uguale a zero;
2. si spostano tutti i termini fuori dalla radice da una parte dell'uguale, mentre il radicale viene lasciato solo dall'altra parte, in modo che abbia segno positivo (in caso contrario si cambiano tutti i segni);
3. si pone la condizione di concordanza del segno (c.c.): l'espressione in cui non compare la radice deve anch'essa esser maggiore o uguale a zero;
4. si elevano entrambi i membri dell'equazione alla potenza opportuna per annullare la radice;
5. si risolve l'equazione algebrica ottenuta;
6. si confrontano le soluzioni trovate con le condizioni poste in precedenza.

Se nell'equazione è presente più di un radicale, occorre porre le c.e. per ogni radicale; quindi si isola un radicale alla volta, elevando più volte i membri dell'equazione, in modo da annullare di volta in volta tutte le radici presenti; in questi casi non conviene porre le condizioni di concordanza, ma al contrario è necessario verificare ogni soluzione trovata, andandola a sostituire all'equazione iniziale.

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