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Introduzione - I grado - II grado - Gradi sup. - Fratte - Moduli - Irrazionali

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CONTENUTO DELLA PAGINA
L'operazione modulo
Le equazioni con un modulo
Le equazioni con più di un modulo

L'operazione modulo

Il modulo è un'operazione che può avere più significati e quindi diversi utilizzi (si veda in generale la pagina del dizionario); nel nostro caso:

Il modulo di un numero reale corrisponde al suo valore assoluto, ossia il valore del numero senza segno.

Calcolare il valore assoluto di un numero è quindi molto facile; tuttavia non è altrettanto semplice calcolare il valore assoluto di una espressione letterale, di cui non si conosce il valore; in questi casi, per determinarne il valore assoluto, occore quindi studiare il segno di tale espressione: se essa ha valore positivo, il valore assoluto corrisponde al valore originale dell'espressione; altrimenti se essa ha valore negativo, il valore assoluto corrisponde all'opposto del valore originale. Il linea generale vale la seguente definizione:

Il modulo di una espressione A, che si indica con |A|, corrisponde a:
|A| = A, quando A ≥ 0;
|A| = −A, quando A < 0.

L'espressione A è chiamata argomento del modulo.

Se in una espressione o in una equazione compaiono moduli, occorre quindi studiare singolarmente il segno di ogni argomento, e analizzare ogni caso (oppure ogni combinazione) separatamente.

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Le equazioni con un modulo

Se in un'equazione è presente un modulo, occorre per prima cosa studiare il segno del suo argomento, distinguendo il caso in cui questo sia maggiore (o uguale) a zero, da quello in cui sia minore di zero; si formano quindi due casi:

nel primo si risolve l'equazione senza considerare il modulo, lasciando l'argomento invariato e aggiungendo però la condizione che l'argomento sia maggiore o uguale a zero;
nel secondo si risolve l'equazione senza considerare il modulo, cambiando di segno l'argomento e aggiungendo la condizione che l'argomento sia minore di zero.

La soluzione finale è data dall'unione delle eventuali soluzioni dei due casi.

Esempio 12. Studiamo questa equazione:

x² + | 3x − 6 | = 5x − 4

L'argomento del modulo è l'espressione 3x − 6; non conoscendo al momento il segno di tale argomento, studiamo i due possibili casi:

1° caso: 3x − 6 ≥ 0.

La condizione è verificata se x ≥ 2; quindi le eventuali soluzioni di questo primo caso devono rispettare tale vincolo. L'equazione che si ottiene è:

x² + 3x − 6 = 5x − 3

x² + 3x − 6 − 5x + 3 = 0

x² − 2x − 3 = 0

Tale equazione di II grado ha come soluzioni x = 3 e x = −1; tuttavia quest'ultima soluzione non è accettabile, in quanto contraria alla condizione posta; di conseguenza l'unica soluzione accettabile per questo primo caso è x = 3.

2° caso: 3x − 6 < 0.

In questo caso la condizione corrisponde alla limitazione che x < 2. L'equazione che si ottiene, cambiando il segno dell'argomento, è:

x² − 3x + 6 = 5x − 3

x² − 3x + 6 − 5x + 3 = 0

x² − 8x + 9 = 0

Tale equazione di II grado ha come soluzioni x = 4 + √7 e x = 4 − √7; in questo caso la prima soluzione non è accettabile, in quanto contraria alla condizione posta; di conseguenza l'unica soluzione accettabile per questo secondo caso è x = 4 − √7.

Conclusione. Questa equazione è determinata e possiede due soluzioni accettabili:

x₁ = 3 ∨ x₂ = 4 − √7.

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Le equazioni con più di un modulo

Nel caso in cui in una equazione siano presenti più moduli, occorre studiare ogni modulo separatamente, analizzando i casi in cui gli argomenti siano maggiori o uguali a zero e quelli in cui siano minori di zero.
Dal momento che tale studio può risultare complesso e ci può esser confunsione, può esser utile costruire una tabella per lo studio del segno (come quelle delle disequazioni fratte) in cui riportare le soluzioni di ogni singolo argomento.
Non è necessario fare alcun calcolo in questa tabella, ma ogni colonna di questa tabella individua i diversi casi in cui l'equazione deve esser studiata.
In ognuno dei casi indivuduati nella tabella si studia l'equazione con lo stesso ragionamento del paragrago precedenti: si tolgono i moduli e gli argomenti con valore positivo si trascrivono inalterati, mentre gli argomenti con valore negativo si trascrivono con segno cambiato.
Ogni soluzione trovata deve rispettare le opportune limitazioni poste nei relativi casi; la soluzione finale è data dall'unione di tutte le soluzioni accettabili.

Esempio 13. Studiamo l'equazione:

2x + | x − 4 | + | x + 7 | = | 2x | + 3

Studiamo singolarmente gli argomenti dei tre moduli:

modulo: x − 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 4;
modulo: x + 7 ≥ 0 ⇒ x ≥ −7;
modulo: 2x ≥ 0 ⇒ x ≥ 0.

Riportiamo quindi i tre risultati in una tabella per lo studio del segno:

x		−7		0		4
A1	−	−	−	−	−	0	+
A2	−	0	+	+	+	+	+
A3	−	−	−	0	+	+	+
	1ª col		2ª col		3ª col		4ª col

La tabella individua 4 diversi intervalli, ognuno corrispondente ad un caso da studiare; i casi limite, in cui x corrisponde a −7, a 0 oppure a 4, possiamo associarli agli intervalli alla loro destra.

1° caso: x < −7

Guardando la prima colonna dei segni, si osserva che tutti e tre gli argomenti sono negativi; di conseguenza togliendo i moduli dobbiamo cambiare i segni ad ognuno. L'equazione di primo grado che si ottiene è:

2x − x + 4 − x − 7 = − 2x + 3

Svolgendo i calcoli si ottiene la soluzione x = 3, che non è accettabile per la condizione posta, di conseguenza questo caso non ha soluzioni valide.

2° caso: −7 ≤ x < 0

Guardando la seconda colonna dei segni, notiamo che il secondo argomento è positivo mentre gli altri sono negativi; di conseguenza togliendo i moduli dobbiamo cambiare i segni al primo e al terzo argomento. L'equazione di primo grado che si ottiene è:

2x − x + 4 + x + 7 = − 2x + 3

In questo caso si ottiene la soluzione x = −2, che è accettabile in quanto rispetta la condizione posta, di conseguenza questo caso ha come soluzione x = −2.

3° caso: 0 ≤ x < 4

Nella terza colonna dei segni, si osserva che il primo argomento è negativo mentre gli altri due sono positivi; di conseguenza togliendo i moduli dobbiamo cambiare i segni solo al primo argomento. L'equazione di primo grado che si ottiene è:

2x − x + 4 + x + 7 = 2x + 3

Notiamo che questa equazione è impossibile, in quanto porta all'uguaglianza 0 = −8, quindi, a prescidere dalle condizioni poste, tale caso non ha soluzioni.

4° caso: x ≥ 4

Nella quarta colonna dei segni, tutti e tre gli argomenti sono positivi; di conseguenza togliendo i moduli non dobbiamo cambiare i segni ad alcun argomento. L'equazione di primo grado che si ottiene è:

2x + x − 4 + x + 7 = 2x + 3

Svolgendo i calcoli si ottiene la soluzione x = 0, che non è accettabile per la condizione posta, di conseguenza questo caso non ha soluzioni valide.

Conclusione. Questa equazione è determinata e possiede un'unica soluzione accettabile:

x = − 2

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