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CONTENUTO DELLA PAGINA
Il metodo di sostituzione
Esempi
Attenzione: può accadere che alcuni simboli non siano visualizzati correttamente, leggi le info alla sezione compatibilità.
Il metodo di sostituzione
Questo metodo è il più diffuso e il più semplice da imparare; inoltre ha il vantaggio che può esser utilizzato anche sistemi più complessi, come quelli di grado superiore o con più incognite.
In queste pagine rimaniamo ai sistemi di 2 equazioni in 2 incognite.
Descrizione dei passaggi:
- Semplificazione. Per prima cosa occorre svolgere evenutali calcoli presenti nelle due equazioni; conviene quindi individuare l'equazione più semplice e, nel caso vi siano due incognite, quella senza coefficienti o con coefficienti minori. Chiameremo questa l'equazione n. 1, mentre quella rimanente la chiameremo equazione n. 2.
- Esplicitazione. Isoliamo l'incognita scelta, lasciandola (o portandola) al primo membro, portando tutti gli altri termini a secondo membro; se l'incognita possiede un coefficiente o un segno negativo, moltiplichiamo o dividiamo entrambi i membri per un numero opportuno, al fine di lasciare l'incognita da sola a sinistra. L'espressione che si ottiene a destra non dovrà quindi contenere tale incognita, ma solo numeri ed eventualmente l'altra incognita.
- 1ª Sostituzione. L'espressione ottenuta va inserita nell'equazione n. 2, al posto dell'incognita scelta, ogni volta che compare, e rispettando l'ordine delle operazioni presenti (in questi casi è utile aiutarsi mettendo delle parentesi.
- 1ª Risoluzione. L'equazione n. 2 ora possiede una sola incognita, quindi possiamo risolverla svolgendo i calcoli:
▪ se l'equazione è indeterminata, allora il sistema è indeterminato, e lo studio termina qui;
▪ se l'equazione è impossibile, allora il sistema è impossibile, e lo studio termina qui;
▪ se l'equazione è determinata, otteniamo la soluzione per l'incognita presente, e lo studio va avanti.
- 2ª Sostituzione. Se la prima incognita non è stata ancora determinata, occorre ora sostituire il valore ottenuto all'interno dell'equazione n. 1, al posto dell'incognita non esplicitata.
- 2ª Risoluzione. Svolgendo i calcoli otteniamo anche il valore dell'altra incognita e il sistema è risolto.
Troppo complicato? Con qualche esempio diventerà tutto molto più chiaro.
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Esempi
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Esempio 2. Risolviamo il seguente sistema:
⎧ 2x + y = 8
⎨
⎩ x − y + 1 = 0
Non occorre svolgere calcoli, quindi passiamo all'esplicitazione: partiamo dalla seconda equazione, in cui vogliamo esplicitare la x:
⎧ 2x + y = 8
⎨
⎩ x = y + 1
Sostituiamo l'espressione (y + 1) all'interno della prima equazione, al posto della x:
⎧ 2(y + 1) + y = 8
⎨
⎩ x = y + 1
Svolgendo i calcoli:
⎧ 2y + 2 + y = 8
⎨
⎩ x = y + 1
Risolviamo la prima equazione:
⎧ y = 2
⎨
⎩ x = y + 1
Sostituiamo il valore trovato (y = 2) nella seconda equazione:
⎧ y = 2
⎨
⎩ x = 2 + 1
Svolgendo i calcoli:
⎧ y = 2
⎨
⎩ x = 3
Conclusione: il sistema è determinato: possiede una unica soluzione (essendo di primo grado) che è la coppia (3; 2).
Ricordiamo che quando mettiamo i numeri nelle parentesi, devono corrispondere alle lettere, messe in ordine alfabetico.
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Esempio 3. Risolviamo il seguente sistema:
⎧ 4x + 2y + 7 = 0
⎨
⎩ 9 − 6x = 3y
Non occorre svolgere calcoli, quindi passiamo all'esplicitazione: osserviamo che nella seconda equazione tutti i coefficienti sono divisibili per 3; partiamo quindi dalla seconda equazione ed esplicitiamo la y, che ha coefficiente minore:
⎧ 4x + 2y + 7 = 0
⎨
⎩ y = 3 − 2x
Sostituiamo l'espressione (3 − 2x) all'interno della prima equazione, al posto della y:
⎧ 4x + 2(3 − 2x) + 7 = 0
⎨
⎩ y = 3 − 2x
Svolgendo i calcoli nella prima equazione:
⎧ 4x + 6 − 4x + 7 = 0
⎨
⎩ y = 3 − 2x
La prima equazione porta al risultato 13 = 0, che è impossibile.
Conclusione: il sistema è impossibile: non possiede soluzioni.
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