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Il metodo di riduzione
Esempi
Attenzione: può accadere che alcuni simboli non siano visualizzati correttamente, leggi le info alla sezione compatibilità.
Il metodo di riduzione
Il metodo di riduzione (spesso chiamato anche metodo di addizione e sottrazione) può esser applicato ogni volta che una delle due incognite compare in entrambe le equazioni con lo stesso coefficiente, o comunque con un coefficiente multiplo o sottomultiplo; tale metodo consente di risolvere il sistema in modo molto veloce, operando direttamente tra le due equazioni.
Descrizione dei passaggi:
- Semplificazione. Per prima cosa occorre svolgere evenutali calcoli presenti nelle due equazioni; per procedere il sistema deve esser ridotto in forma normale: in tal caso è facile analizzare se in entrambe le equazioni è presente una stessa incognita con coefficienti uguali oppure opposti.
- Aggiustamento. Nel caso in cui l'incognita individuata non abbia coefficienti uguali o opposti, occorre calcolare il m.c.m. tra i coefficienti e moltiplicare entrambe le equazioni (applicando il II principio) per il fattore necessario ad uguagliare in valore assoluto i due coefficienti.
- 1ª Riduzione. Operiamo in colonna tra le due equazioni, ciascun termine con il suo corrispondente, scrivendo il risultato sotto al sistema, in una nuova equazione:
▪ se i coefficienti individuati sono uguali, sottraiamo termine a termine;
▪ se i coefficienti individuati sono opposti, addizzioniamo termine a termine;
in ogni caso l'incognita scelta si annullerà e avremo ottenuto una semplicissima equazione con una sola incognita.
- 1ª Risoluzione. Risolviamo l'equazione costruita sotto al sistema:
▪ se l'equazione è indeterminata, allora il sistema è indeterminato, e lo studio termina qui;
▪ se l'equazione è impossibile, allora il sistema è impossibile, e lo studio termina qui;
▪ se l'equazione è determinata, otteniamo la soluzione per l'incognita presente, e lo studio va avanti.
- 2ª Riduzione. Se il sistema è determinato, possiamo provare ad annullare anche l'altra incognita presente, tornando al sistema iniziale e svolgendo operazioni analoghe. In caso sia troppo macchinoso, possiamo sempre concludere sostituendo il valore della prima incognita in una delle due equazioni, per trovare l'incognita mancante.
- 2ª Risoluzione. Svolgendo i calcoli nell'equazione ottenuta, determiniamo anche il valore dell'altra incognita e il sistema è risolto.
Il passo di aggiustamento è quello che può sembrare più difficile e laborioso, ma con qualche esempio sarà più chiaro.
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Esempi
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Esempio 6. Risolviamo il seguente sistema, già messo in forma normale::
⎧ 5x + 3y = −1
⎨
⎩ 5x − y = 7
L'incognita x possiede lo stesso coefficiente in entrambe le equazioni; sottraiamo quindi termine a termine:
⎧ 5x + 3y = −1
⎨
⎩ −(5x) −(− y) = −7
⇒ ⁄ ⁄ + 4y = −8
L'equazione ha come soluzione y = −2.
Per trovare l'altra incognita, ripartiamo da sistema iniziale: questa volta però dobbiamo annullare la y, che non ha lo stesso coefficiente; occorre prima aggiustare la seconda equazione, moltiplicando tutti i termini per 3.
⎧ 5x + 3y = −1
⎨
⎩ 15x − 3y = 21
Ora l'incognita y possiede coefficienti opposti, quindi dobbiamo addizionare termine a termine:
⎧ 5x + 3y = −1
⎨
⎩ +15x + (−3y) = +21
⇒ 20x + ⁄ ⁄ = +20
Questa seconda equazione ha come soluzione x = 1.
Conclusione: il sistema è quindi determinato e possiede come soluzione la coppia (1; −2).
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Esempio 7. Risolviamo il seguente sistema, anch'esso in forma normale::
⎧ 2x + 5y = 6
⎨
⎩ 3x − y = 9
Nessuna delle due incognite possiede coefficienti uguali oppure opposti, di conseguenza, per poter applicare il metodo di riduzione, dobbiamo comunque aggiustare le equazioni.
Partiamo dalla x: il m.c.m. tra i coefficienti 2 e 3 è 6: la prima equazione dovraà esser moltiplicata per 3 mentre la seconda per 2.
⎧ 6x + 15y = 18
⎨
⎩ 6x − 2y = 18
L'incognita x possiede lo stesso coefficiente in entrambe le equazioni; sottraiamo quindi termine a termine:
⎧ 6x + 15y = 18
⎨
⎩ −6x − (−2y) = −18
⇒ ⁄ ⁄ + 17y = 0
L'equazione ha come soluzione y = 0.
Per trovare l'altra incognita, ripartiamo da sistema iniziale: questa volta però dobbiamo annullare la y, che possiede come coefficienti 5 e − 1; in questo caso è sufficiente moltiplicare la seconda equazione per 5.
⎧ 6x + 15y = 18
⎨
⎩ 15x − 5y = 45
Poiché l'incognita y possiede coefficienti opposti, dobbiamo addizionare termine a termine:
⎧ 6x + 15y = 18
⎨
⎩ 15x − 5y = 45
⇒ 21 + ⁄ ⁄ = 63
Quest'ultima equazione ha come soluzione x = 3.
Conclusione: il sistema è quindi determinato e possiede come soluzione la coppia (3; 0).
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