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CONTENUTO DELLA PAGINA
Il metodo del confronto
Esempi
Attenzione: può accadere che alcuni simboli non siano visualizzati correttamente, leggi le info alla sezione compatibilità.
Il metodo del confronto
Questo metodo è una variante del metodo di sostutuzione; può esser applicato quando in entrambe le equazioni può esser facilmente esplicitata la stessa lettera.
Descrizione dei passaggi:
- Semplificazione. Si svolgono evenutali calcoli presenti nelle due equazioni; occorre quindi individuare se in entrambe le equazioni sia presente una lettera da esplicitare in modo semplice.
- Esplicitazione. Isoliamo l'incognita scelta, in entrambe le equazioni, lasciandola (o portandola) al primo membro, portando tutti gli altri termini a secondo membro; se l'incognita possiede un coefficiente o un segno negativo, moltiplichiamo o dividiamo entrambi i membri per un numero opportuno, al fine di lasciare l'incognita da sola a sinistra. L'espressione che si ottiene a destra non dovrà quindi contenere tale incognita, ma solo numeri ed eventualmente l'altra incognita.
- Confronto. Uguagliamo tra loro i secondi membri delle due equazioni, formando una nuova equazione, avente una sola incognita.
- 1ª Risoluzione. Risolviamo questa nuova equazione, svolgendo i calcoli:
▪ se l'equazione è indeterminata, allora il sistema è indeterminato, e lo studio termina qui;
▪ se l'equazione è impossibile, allora il sistema è impossibile, e lo studio termina qui;
▪ se l'equazione è determinata, otteniamo la soluzione per l'incognita presente, e lo studio va avanti.
- Sostituzione. Se l'altra incognita non è stata ancora determinata, occorre ora sostituire il valore ottenuto all'interno di una delle due equazioni, al posto dell'incognita non esplicitata.
- 2ª Risoluzione. Svolgendo i calcoli otteniamo anche il valore dell'altra incognita e il sistema è risolto.
Osserviamo che questo metodo riprende in buona parte dei passaggi il metodo di sostituzione visto in precedenza.
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Esempi
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Esempio 4. Risolviamo il seguente sistema:
⎧ 3x + y + 3= 2(x + y) + 1
⎨
⎩ (2x − 3)² = (2x − y)(2x + y) + y(y − 1)
Iniziamo svolgendo i calcoli in entrambe le equazioni:
⎧ 3x + y + 3 = 2x + 2y + 1
⎨
⎩ 4x² − 12x + 9 = 4x² − y² + y² − y
Le equazioni, ridotte ai minimi termini, diventano:
⎧ x − y + 2 = 0
⎨
⎩ y − 12x + 9 = 0
Passiamo quindi all'esplicitazione di entrambe le equazioni: vogliamo esplicitare la y:
⎧ y = x + 2
⎨
⎩ y = 12x − 9
Costruiamo la nuova equazione, confrontando i secondi membri:
x + 2 = 12x − 9
Risolviamo l'equazione, ottendendo:
x = 1
Sostituiamo il valore trovato (x = 1) nella prima equazione:
⎧ y = 1 + 2
⎨
⎩ x = 1
Svolgendo i calcoli:
⎧ y = 3
⎨
⎩ x = 1
Conclusione: il sistema è determinato, possiede un'unica soluzione (essendo di primo grado) che è la coppia (1; 3).
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Esempio 5. Risolviamo il seguente sistema:
⎧ 4x + y = 3
⎨
⎩ 2y − 6 + 8x = 0
Non occorre svolgere calcoli, quindi passiamo all'esplicitazione: osserviamo che nella seconda equazione tutti i coefficienti sono divisibili per 2; semplifichiamo quindi la seconda equazione, quindi esplicitiamo la y in entrambe:
⎧ y = 3 − 4x
⎨
⎩ y = 3 − 4x
Costruiamo la nuova equazione, confrontando i secondi membri:
3 − 4x = 3 − 4x
Risolviamo l'equazione, ottendendo:
0 = 0
L'equazione porta al risultato 0 = 0, che è indeterminato.
Conclusione: il sistema è indeterminato, possiede infinite soluzioni.
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