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CONTENUTO DELLA PAGINA
Le condizioni di esistenza
Classificazione delle c.e.
Elenco delle c.e.
Rappresentazione del Dominio
Le condizioni di esistenza
Lo studio del Dominio di una funzione parte dal controllo delle condizioni di esistenza (abbreviate c.e.).
In alcune espressioni è necessario porre tali condizioni, ossia delle limitazioni ai valori che può assumere l'incognita x, per evitare di trovarsi a fare calcoli impossibili (non difficili, ma impossibili).
Tali condizioni sono fondamentali per lo studio della funzione, e influenzano tutti i passaggi successivi. Per questo motivo lo studio del Dominio deve esser svolto prima di ogno altro studio sulla funzione.
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Classificazione delle c.e.
In generale possiamo riassumere le c.e. in 4 casi principali:
Come casi particolari abbiamo alcune funzioni goniometriche: le funzioni tangente, cotangente, secante e cosecante rientrano nel primo caso, in quanto definite come frazioni delle funzioni seno e coseno, mentre le funzioni goniometriche inverse possiedono condizioni particolari.
- La tangente e la secante richiedono che l'argomento sia diverso da π ⁄ 2 + 2kπ per qualunque k intero.
- La cotangente e la cosecante richiedono che l'argomento sia diverso da 2kπ per qualunque k intero.
- L'arcoseno o l'arcocoseno richiedono che l'argomento sia compreso tra − 1 e +1 (gli estremi sono accettabili).
- L'arcosecante o l'arcocosecante richiedono che l'argomento non sia compreso − 1 e +1 (gli estremi sono accettabili).
- Le funzioni seno, coseno, arcotangente e arcocotangente non prevedono particolari condizioni.
Come indicazione generale, se nella funzione non compare alcuna di queste situazioni, allora non è necessario porre condizioni di esistenza per la funzione; se al contrario compaiono più situazioni contemporaneamente, è necessario uno studio separato di ogni situazione, per poter ricavare una condizione globale che accontenti ogni singola condizione di esistenza.
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Elenco delle c.e.
Ecco uno schema completo di come applicare le c.e. alle varie funzioni elementari e alle loro inverse (per sapere cos'è una funzione inversa, vai alla pagina seguente). Le varie lettere presenti indicato (ad eccezione del primo caso) delle espressioni in funzioni di x, quindi di valore variabile.
| funzione |
esempio |
condizione |
| costante |
n |
nessuna |
| polinomio |
p |
nessuna |
| valore assoluto |
| p | |
nessuna |
| frazione |
| d ≠ 0 |
| esponenziale |
a b |
a > 0 ∧ a ≠ 1 |
| logaritmo |
loga (b) |
a > 0 ∧ a ≠ 1
b > 0 |
| radice ind. pari |
√ r |
r ≥ 0 |
| radice ind. dispari |
5√ r |
nessuna |
| seno |
sen (α) |
nessuna |
| arco-seno |
sen ⁻¹ (a) |
| a | ≤ 1 |
| coseno |
cos (α) |
nessuna |
| arco-coseno |
cos ⁻¹ (a) |
| a | ≤ 1 |
| tangente |
tan (α) |
α ≠ π ⁄ 2 + 2kπ |
| arco-tangente |
tan ⁻¹ (a) |
nessuna |
| cotangente |
cot (α) |
α ≠ 2kπ |
| arco-cotangente |
cot ⁻¹ (a) |
nessuna |
| secante |
sec (α) |
α ≠ π ⁄ 2 + 2kπ |
| arco-secante |
sec ⁻¹ (a) |
| a | ≥ 1 |
| cosecante |
cosec (α) |
α ≠ 2kπ |
| arco-cosecante |
cosec ⁻¹ (a) |
| a | ≥ 1 |
Ogni funzione può aver bisogno di una o più condizioni; lo studio del dominio consiste nell'elencare tutte le condizioni previste e quindi studiare algebricamente ogni condizione posta: se la condizione prevede un segno di "diverso" (≠) può esser studiata tramite l'equazione associata; se la condizione prevede invece un segno di "maggiore", "maggiore o uguale", "minore", "minore o uguale", allora può esser studiata come una normale disequazione; da questo studio si ricava la soluzione ragionando sulla richiesta iniziale, come si può vedere negli esempi seguenti.
In alcuni casi la condizione di esistenza dà luogo ad un'equazione (o disequazione) impossibile; in tal caso bisogna controllare quale sia effettivamente la richiesta della condizione studiata:
- se la condizione risulta impossibile allora il Dominio non viene modificato;
- se la condizione risulta sempre vera allora il Dominio diventa l'insieme vuoto.
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Rappresentazione del Dominio
Una volta ottenute le corrette c.e., per rappresentare il Dominio si possono usare due metodi:
- per caratteristica, descrivendo in modo algebrico, all'interno di parentesi graffe, quali valori può assumere l'incognita x, sulla base delle c.e.
Nel caso non ci siano condizioni, x può assumere qualunque valore reale, e si scrive: D = { ∀x∈ℝ };
Nel caso vi siano c.e., possono essere inserite in fondo nella parentesi, come specificazione; se vi sono più condizioni, vengono collegate con il simbolo di congiunzione logica ∧.
- per intervalli, elencando gli intervalli di tutti i valori ammissibili che può assumere l'incognita x da −∞ a +∞, racchiusi all'interno di parentesi tonde o quadre: in particolare se l'estremo di un intervallo è compreso nel Dominio, usiamo la quadra, se invece non è compreso usiamo la tonda (ovviamente ∞ non è mai compreso); nel caso infine che ci siano più intervalli, vengono collegati con il simbolo di unione ∪.
Nel piano cartesiano è opportuno segnalare le eventuali limitazioni ottenute nel Dominio; in genere per convenzione si opera nel seguente modo:
- segnando una retta verticale unita in corrispondenza di ogni valore che nel Dominio compare con un diverso (≠), un maggiore (>) o un minore (<);
- segnando una retta verticale tratteggiata in corrispondenza di ogni valore che nel Dominio compare con un maggiore o uguale (≥) o un minore o uguale (≤);
- cancellando tutte le zone corrispondenti ai valori delle x escluse dal dominio da segni di maggiore (>), maggiore (≥) o uguale, minore (<), minore o uguale (≤).
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Esempio 2. Determiniamo il Dominio della seguente funzione:
| ƒ(x) = |
x² + 4x + 3
x³ − 5x² + 4x |
Svolgimento. Essendo una funzione fratta, dobbiamo porre la condizione che il denominatore sia diverso da zero:
x³ − 5x² + 4x ≠ 0
Risolviamo l'equazione associata; essendo di terzo grado, conviene scomporre in fattori:
x³ − 5x² + 4x = 0
x (x² − 5x + 4) = 0
x (x − 1) (x − 4) = 0
Applicando la legge d'annullamento del prodotto, otteniamo le 3 seguenti soluzioni:
x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = 4
Tali valori annullano il denominatore; dal momento che la condizione è che il denominatore sia diverso da zero, la x potrà assumere ogni valore reale, ad eccezione di questi tre elencati sopra.
Conclusione: il dominio può esser scritto:
D = { ∀x∈ ℝ : x≠0 ∧ x≠1 ∧ x≠4 }
oppure sotto forma di intervalli, in modo equivalente:
D = (−∞; 0) ∪ (0; 1) ∪ (1; 4) ∪ (4; ∞)
Nel piano cartesiano è sufficiente a questo punto segnare 3 rette verticali, una in corrispondenza di x = 0, una per x = 1 e una per x = 4.
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Esempio 3. Determiniamo il Dominio della seguente funzione:
Svolgimento. Essendo una funzione irrazionale e fratta, dobbiamo porre le seguenti condizioni:
- c.e. per la radice: x² − 9 ≥ 0
- c.e. per la frazione: x − 1 ≠ 0
Risolviamo la prima condizione (per la radice), studiando l'equazione associata:
x² − 9 = 0
(x − 3) (x + 3) = 0
x = 3 ∨ x = − 3
Dal momento che tale condizione è costituita da una disequazione, dobbiamo studiare il segno di tale espressione (essendo di II grado si può fare con la parabola, con la tabella dei segni, o con la regola della concordanza). Il risultato è:
x ≤ − 3 ∨ x ≥ 3
Risolviamo la seconda condizione (per la frazione), studiando l'equazione associata:
x − 1 = 0
x = 1
Di conseguenza la condizione che ne risulta è:
x ≠ 1
Studiando le condizioni, ci si accorge la condizione x ≠ 1 è superflua, in quanto implicata dalla c.e. della radice, che è più forte.
Conclusione: il Dominio è:
D = { ∀x∈ ℝ : x ≤ − 3 ∨ x ≥ 3 }
O analogamente:
D = (−∞; −3] ∪ [+3; +∞)
Da osservare l'uso delle parentesi quadre in corrispondenza degli estremi −3 e +3, in quanto sono compresi nel Dominio.
Nel piano cartesiano è sufficiente a questo punto segnare 2 rette verticali tratteggiate, una in corrispondenza di x = −3, una per x = +3, e quindi cancellare tutta la zona compresa tra le due rette.
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