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CONTENUTO DELLA PAGINA
Funzioni iniettive
Funzioni suriettive
Funzioni biunivoche e inverse
Funzioni iniettive
Come abbiamo visto, ogni funzione descrive una particolare relazione tra le x e le loro immagini f(x) e abbiamo visto che la proprietà principale di una funzione è che ogni x ha la propria immagine; tuttavia da un'immagine non sempre possiamo risalire ad un'unica x.
Le funzioni iniettive sono funzioni molto particolare, la cui caratteristica è non presentare ambiguità in entrambi i versi.
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Una funzione è iniettiva se ogni y è immagine di al massimo una x.
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In una funzione iniettiva, ad ogni y corrisponde quindi al massimo una sola controimmagine x: se troviamo due x diverse che hanno la stessa immagine (quindi che portano allo stesso risultato), allora la funzione non è iniettiva.
Per verificare che una funzione sia o meno iniettiva, possiamo:
- cercare diversi valori per la x che abbiano la stessa immagine;
- provare ad invertire la funzione, esplicitando la x in funzione di y, e vedento se otteniamo più soluzioni;
- uguagliare due generiche immagini f(x₁) = f(x₂).
Il primo metodo è utile per verificare che una funzione non sia iniettiva, ma non serve a nulla se vogliamo verificare il contrario; gli altri due metodi sono molto simili tra loro, e consistono nel considerare delle x generiche e, svolgendo i passaggi come in un'equazione, studiare se possiamo trovare un'unica soluzione. In particolare il terzo metodo consiste nel arrivare ad ottenere una relazione diretta di uguaglianza tra x₁ e x₂; tuttavia a volte si possono ottenere anche altre relazioni (oltre a questa) e in tal caso la funzione non è iniettiva.
Dal punto di vista grafico, una funzione è iniettiva se, tagliata da rette orizzontali, non si ottengono mai contemporaneamente due i più intersezioni.
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Esempio 4. Studiamo se sono iniettive le seguenti funzioni:
| f(x) = |
x + 1
x − 2 |
| g(x) = |
x² − 3x |
Svolgimento. Studiamo separatamente le due funzioni.
♦ Partiamo dalla prima funzione, e uguagliamo due generiche immagini:
f(x₁) = f(₂)
| x₁ + 1
x₁ − 2 |
= |
x₂ + 1
x₂ − 2 |
Ponendo la condizione che le x siano diverse da 2 (per il Dominio) moltiplichiamo per entrambi i denominatori e poi svolgiamo i calcoli:
(x₁ + 1) (x₂ − 2) = (x₁ − 2) (x₂ + 1)
x₁ x₂ − 2x₁ + x₂ − 2 = x₁ x₂ − 2x₂ + x₁ − 2
Semplifichiamo i termini uguali che si trovano in entrambi i membri e spostiamo i rimanenti:
x₂ + 2x₂ = x₁ + 2x₁
3x₂ = 3x₁
x₂ = x₁
Abbiamo ottenuto, come unica soluzione, che le due x siano uguali; dal momento che non abbiamo altre soluzioni, la funzione è iniettiva.
♦ Passiamo ora alla seconda funzione, e anche qui uguagliamo due generiche immagini:
g(x₁) = g(x₂)
(x₁)² − 3x₁ = (x₂)² − 3x₂
Osserviamo che in questo caso non abbiamo termini da semplificare e, per poter andare avanti, la dobbiamo gestire come un'equazione di secondo grado, e risolverla in una delle due variabili, ad esempio x₁, considerando l'altra come un numero. Possiamo scomporre in fattori (non sempre semplice) o applicare la formula risolutiva: usiamo questa seconda via.
(x₁)² − 3x₁ − (x₂)² + 3x₂ = 0
| x₁ = |
3 ± √ 9 − 4[−(x₂)² + 3x₂]
2 |
= |
| = |
3 ± √ 9 + 4(x₂)² − 12x₂
2 |
= |
| = |
3 ± √ (2x₂ − 3)²
2 |
= |
| = |
3 ± (2x₂ − 3)
2 |
Abbiamo ottenuto due soluzioni, che corrispondono a due possibili relazioni tra x₁ e x₂.
x₁ = x₂ ∨ x₁ = 3 − x₂
Quindi abbiamo ottenuto due diverse soluzioni, quindi la funzione non è iniettiva.
Conclusione: la funzione f(x) è iniettiva, la funzione g(x) non lo è.
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Funzioni suriettive
In modo analogo possiamo introdurre le funzioni suriettive: anche esse si occupano della corrispondenza tra x e y, ma in modo leggermente diverso.
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Una funzione è suriettiva se ogni y possiede sempre almeno una controimmagine x.
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In una funzione suriettiva, ad ogni y corrisponde sempre quindi almeno una controimmagine x: se troviamo una y che non ha controimmagini, (quindi un risultato impossibile da ottenere), allora la funzione non è suriettiva.
Per verificare che una funzione sia o meno suriettiva, possiamo:
- cercare valori della y che non abbiano controimmagine;
- provare ad invertire la funzione, esplicitando la x in funzione di y, e vedento se otteniamo delle condizioni di esistenza per la y.
Anche in questo caso il primo metodo è utile per verificare che una funzione non sia suriettiva, ma non serve a nulla se vogliamo verificare il contrario; il secondo metodo consiste nel considerare x e y generiche e, svolgendo i passaggi come in un'equazione, studiare se possiamo trovare soluzioni e sotto quali condizioni.
Dal punto di vista grafico, una funzione è suriettiva se, tagliata da rette orizzontali, si ottengono sempre una o più intersezioni.
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Esempio 5. Studiamo se sono suriettive le seguenti funzioni:
f(x) = 3x + 7
g(x) = sen (x)
h(x) = tan (x)
Svolgimento. Studiamo separatamente le tre funzioni.
♦ Partiamo dalla prima funzione f(x) = 3x + 7, scrivendola come equazione:
y = 3x + 7
Proviamo ad esplicitare la x, con normali passaggo:
− 3x = − y + 7
3x = y − 7
x = ⅓ y − 7⁄3
In questi passaggi non abbiamo dovuto porre alcuna condizione per la y, dunque la funzione è suriettiva.
♦ Consideriamo ora la seconda funzione g(x) = sen (x), scrivendo anch'essa come equazione:
y = sen(x)
Per esplicitare la x, dobbiamo far riscorso alla funzione inversa del seno, che è l'arcoseno:
arcsen(y) = arcsen(sen(x))
arcsen(y) = x
Tuttavia la funzione arcoseno prevede, come c.e., che l'argomento sia compreso tra − 1 e +1, quindi abbiamo una limitazione per la y:
− 1 ≤ y ≤ +1
Avendo inserito una condizione per la y, la funzione non è suriettiva.
♦ Passiamo infine alla terza funzione h(x) = tan (x), scrivendo anch'essa come equazione:
y = tan(x)
Osserviamo che la tangente possiede una c.e. che coinvolge la x, ma in questo momento dobbiamo concentrarci solo sulla y; anche in questo caso, per esplicitare la x dobbiamo far riscorso alla funzione inversa della tangente, che è l'arcotangente:
arctan(y) = arctan(tan(x))
arctan(y) = x
La funzione arcotangente non prevede alcuna condizione particolare, quindi non abbiamo limitazioni per la y e la funzione è suriettiva.
Conclusione: le funzione f(x) e h(x) sono suriettive, la funzione g(x) non lo è.
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A questo punto uno si può chiedere: ma se una funzione non è iniettiva, allora e suriettiva? e anche al contrario se non è suriettiva, allora è iniettiva?
No, le funzioni iniettive e suriettive sono casi molto particolari, in quanto non è scontato una determinata proprietà valga per tutte le corrispondenze tra x e y di una funzione: molte funzioni non sono né iniettive né suriettive.
Esistono poi funzioni ancora più particolari che sono sia iniettive che suriettive: le funzioni biunivoche.
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Funzioni biunivoche e inverse
Un tipo di funzioni molto particolari e anche molto utili sono le funzioni biunivoche (o biiettive).
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Una funzione è biunivoca se è sia iniettiva, sia suriettiva.
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Quindi una funzione biunivoca è una corrispondenza esatta tra gli elementi del Dominio e del Codominio: se scelgo il valore di x so chi è la sua immagine y, e viceversa se scelgo y so chi è x; di conseguenza in una funzione biunivoca posso trattare le immagini e le controimmagini in modo equivalente: posso scrivere y in funzione di x, e anche x in funzione di y.
Una funzione si dice invertibile se è una funzione da cui si può ricavare, con passaggi algebrici o con ragionamento, una funzione inversa.
Ma cos'è una funzione inversa?
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Sia f : A → B una funzione invertibile; allora la funzione inversa di f è una funzione f⁻¹ tale che:
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Una funzione inversa è in pratica una funzione che fa i calcoli inversi alla funzione iniziale, quindi che dalle immagini y ci permette di calcolare le controimmagini x iniziali.
Se una funzione non è invertibile, può esser resa tale ponendo ulteriori limitazioni al Dominio e al Codominio, così da diventare biunivoca; infatti:
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Una funzione biunivoca è invertibile.
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In particolare, per rendere una funzione iniettiva bisogna restringere il Dominio, tenendo solo le x che hanno immagini diverse tra loro, mentre per renderla suriettiva bisogna restringere il Codominio, in modo tale che coincida con l'insieme Immagine.
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Esempio 6. Determiniamo se la seguente funzione è invertibile e calcoliamo la sua funzione inversa.
f(x) = x² + 6x
Svolgimento. Partiamo studiando il Dominio iniziale della funzione: essendo un polinomio, il suo Dominio è tutto l'insieme dei numeri reali; per quanto riguarda il Codominio, anch'esso al momento possiamo dire che è ℝ, quindi:
f : ℝ → ℝ
Consideriamo l'equazione associata e proviamo ad esplicitare la x.
y = x² + 6x
x² + 6x − y = 0
Abbiamo un'equazione di 2° grado, quindi per ottenere la x, dobbiamo usare la formula risolutiva (in questo caso usiamo la ridotta).
x = − 3 ± √ 9 − 4(−y)
x = − 3 ± √ 9 + 4y
Come prima osservazione, notiamo che la y è sotto radice, quindi dobbiamo porre una c.e.:
y + 4 ≥ 0 ⇒ y ≥ − 4
Se questa condizione non viene rispettata, la funzione non è suriettiva.
Inoltre, davanti alla radice è presente un ±, quindi la soluzione non è unica; se vogliamo che la funzione sia anche iniettiva, dobbiamo scegliere uno dei due casi, ad esempio il +:
x = − 3 + √ 9 + 4y
Questa scelta ci porta ad una condizione per la x: infatti, spostando il − 3 a sinistra otteniamo:
x + 3 = + √ 9 + 4y
e dal momento che il risultato della radice è positivo, dovrè esser positiva anche l'espressione a sinistra.
x + 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ − 3
Se questa condizione non viene rispettata, la funzione non è inettiva.
La funzione iniziale non è quindi né iniettiva né suriettiva; se vogliamo ottenere la funzione inversa, dobbiamo quindi applicare le seguenti limitazioni:
Per il Dominio: x ≥ − 3
Per il Codominio: y ≥ − 4
Conclusione: la funzione iniziale, ristretta a:
f : [−3; +∞) → [−4; +∞)
è biunivoca, e la sua funzione inversa, ottenuta scambiano le x con le y, è:
f : [−4; +∞) → [−3; +∞)
y = − 3 + √ 9 + 4x
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