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CONTENUTO DELLA PAGINA
Costante di Fidia
Costante di Pitagora
Costante di Teodoro

Di seguito le principali costanti razionali.

Costante di Fidia

Simbolo: φ   (la lettera "phi" dell'alfabeto greco, si legge "fi" e corrisponde alla "f" italiana)

Usato per: indicare il rapporto tra la diagonale e il lato di un pentagono regolare

Valore approssimativo: 1,6180339887...

Classificazione: numero irrazionale, algebrico, reale.

Storia: conosciuto più frequentemente come rapporto aureo, era noto già agli egizi e ai greci, e fu citato da Euclide nei suoi "Elementi"; corrisponde anche al rapporto tra il lato esterno di un pentagramma (o pentacolo) e il lato del pentagono interno, e per questo fu studiato dai pitagorici: essi consideravano il pentagramma una figura molto importante.
Nel medioevo assunse il nome di proporzione divina, per le sue numerose proprietà aritmetiche e geometriche (vedi di seguito), comparendo indirettamente negli studi di Fibonacci e di Leonardo da Vinci. Keplero ed Eulero nei loro studi lo ricollegarono alla successione di Fibonacci.

Il valore di φ come rapporto è ricorrente in natura, in quanto molte forme di piante e animali (persino il corpo umano) sono in rapporto di φ; in arte classica è stato spesso utilizzato da architetti, scultori o pittori nelle loro opere.
È chiamato costante di Fidia in quanto fu utilizzato dallo scultore greco in molte sue opere: nel Partenone di Atene ad esempio molte dimensioni stanno in rapporto uguale a φ.

Proprietà

• Rispetta la proporzione: φ : 1 = 1 : (φ − 1); ciò ha un'applicazione in geometria:

  La sezione aurea di un segmento di lunghezza L è quel segmento di lunghezza x ≤ L tale che: L : x = x : (L − x)

• Sempre in geometria, è il rapporto tra la diagonale e il lato di un pentagono regolare;.
• φ non è un numero razionale: esso corrisponde al valore dell'espressione: (√5 + 1) / 2

• φ è un numero reale algebrico: infatti è la radice positiva dell'equazione:

  x ² − x − 1 = 0

• Da quest'ultima proprietà seguono due interessanti caratteristiche:
  1.   φ − 1 = 1 / φ
  2.   φ + 1 = φ ²
• φ è legato alla successione di Fibonacci: infatti φ è il limite, per n → ∞, del rapporto

  F(n+1) : F(n)

  inoltre vale la formula:

  φn = F(n) φ + F(n+1)

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Costante di Pitagora

Simbolo: √2

Usato per: indicare il rapporto tra la diagonale e il lato di un quadrato

Valore approssimativo: 1,4142135624...

Classificazione: numero irrazionale, algebrico, reale.

Storia: è stato il primo numero irrazionale "scoperto" in antichità: studiato oltre che dagli antichi greci, anche in Babilonia, nell'antico Egitto e in India, furono date stime molto precise con i metodi della somma di frazioni semplici.
I pitagorici, filosofi dell'universalità dei numeri razionali, si accorgerso che tale valore non può esser espresso come frazione, e Pitagora stesso ne studiò il valore e le proprietà, cercando invano prove per la sua teoria (ottenendo quindi una dimostrazione "per assurdo"...); fu proprio questo risultato che disilluse Pitagora sulla sua convinzione che tutti i numeri fossero razionali.

Proprietà

• In geometria rappresenta il rapporto tra la diagonale e il lato di un quadrato: di conseguenza è anche uguale al rapporto tra l'ipotenusa e un cateto in un triangolo isoscele rettangolo.
• √2 è non è un numero razionale, in quanto non esiste nessuna frazione che al quadrato vale 2; tuttavia è un numero reale algebrico: infatti è la radice positiva dell'equazione:

  x ² − 2 = 0

• I normali fogli di carta (A3, A4, A5...) hanno i lati il cui rapporto è proprio √2, in modo che dimezzando il foglio si ottiene un nuovo foglio simile a quello iniziale: infatti i due mezzi-fogli ottenuti hanno ancora i lati il cui rapporto è √2 !

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Costante di Teodoro

Simbolo: √3

Usato per: indicare il rapporto tra la diagonale e lo spigolo di un cubo

Valore approssimativo: 1.7320508076...

Classificazione: numero irrazionale, algebrico, reale.

Storia: sebbene il suo valore non fosse noto con precisione, in antichità il rapporto tra la diagonale interna e lo spigolo di un cubo era usato spesso.
Teodoro di Cirene, un importante pitagorico, dimostrò che non esisteva alcun numero razionale il cui quadrato fosse 3.

Nella storia questo numero è importante in quanto è anche il rapporto tra i cateti di un triangolo rettangolo con un angolo di 60°, quindi fu usato spesso in geometria e in arte.

Proprietà

• In geometria rappresenta il rapporto tra la diagonale interna e lo spigolo di un cubo.
• Consideriamo un triangolo rettangolo con un angolo di 60°, ossia la metà di un triangolo equilatero: esso ha il cateto minore che è metà dell'ipotenusa, di conseguenza (per il teorema di Piatagora) il rapporto tra i cateti è √3.
• √3 è non è un numero razionale, in quanto non esiste nessuna frazione che al quadrato vale 3.
  È un numero reale algebrico, essendo è la radice positiva dell'equazione:

  x ² − 3 = 0

• Se riprendiamo un normale foglio di carta (A3, A4, A5...) il rapporto tra il lato minore e la diagonale è proprio √3 !

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