Introduzione - Naturali e Interi - Razionali - Reali - Complessi - Quaternioni

★ ★ ☆

<<< Precedente   -   Successivo >>>

CONTENUTO DELLA PAGINA
I numeri complessi
Forme di rappresentazione:
algebrica - trigonometrica - esponenziale

I numeri complessi

Simbolo: ℂ

Cardinalità: ℵ₁. L'insieme dei numeri complessi ha la stessa Cardinalità dell'insieme dei numeri reali.

Definizione: l'insieme dei numeri complessi è l'insieme di tutte le coppie z = (a, b), con a, b numeri reali.

Introduciamo alcune definizioni importanti:

• il numero complesso (1, 0) è l'unità reale, identificata col normale simbolo 1;
• il numero reale a è la parte reale di z;
• il numero complesso (0, 1) è l'unità immaginaria, identificata col simbolo 𝒾;
• il numero reale b è la parte immaginaria d z;
• il numero complesso (0, 0) è lo zero dei numeri complessi e si indica con normale simbolo 0;
• il coniugato di un numero complesso z è il numero complesso z = (a, − b)
• il modulo di un numero complesso z è il numero reale positivo |z| = √a² + b²;

Osserviamo che un numero complesso z e il suo coniugato z hanno uguale modulo:

|z| = |z|

Se b = 0, z corrisponde ad un comune numero reale, mentre se a = 0, z è viede detto numero immaginario.

Operazioni: l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, la potenza e la radice tra numeri complessi sono ben definite, si possono sempre fare all'interno di ℂ e il risultato che si ottiene è sempre un numero complesso.
Al contrario le altre operazioni non sono ben definite:

• la divisione si può fare solo se il divisore è diverso da zero;
• il logaritmo si può fare solo se l'argomento è diverso da zero.

Le operazioni si svolgono con regole particolari:

• la somma algebrica tra due numeri complessi z₁ = (a, b) e z₁ = (c, d) si ottiene sommando rispettivamente tra loro le parti reali e le parti immaginarie dei singoli numeri:
  
  z₁ + z₁ = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
• l'opposto di un numero complesso z = (a, b) è il numero complesso avente parte reale e immaginaria opposte rispetto a quelle iniziali:
  
  − z = − (a, b) = (−a, −b)
• il prodotto tra un numero complesso z = (a, b) e un numero reale k si ottiene moltiplicando sia la parte reale sia la parte immaginaria del numero complesso per il numero reale:
  z · k = (a, b) · k = (ka, kb)
• il prodotto tra due numeri complessi z₁ = (a, b) e z₁ = (c, d) si ottiene formando un numero complesso con la regola trigonometrica:
  (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)
• il reciproco di un numero complesso z = (a, b) si ottiene moltiplicando il coniugato per il reciproco del moduto del numero complesso:
  z ^-1 = z · |z| ^-1 =
  = (a / √a² + b², − b / √a² + b²)
• il quozionte tra due numeri complessi z₁ = (a, b) e z₁ = (c, d) si ottiene moltiplicando il primo numero per il reciproco del secondo:
  z₁ ∶ z₂ = z₁ · (z₂)^-1 =

  =   (

  ac + bd√c² + d²

  ,

  bc − ad√c² + d²

  )

Le operazioni di potenza, radice e logaritmo possono esser svolte in modo molto semplice utilizzando la forma goniometrica o esponenziale dei numeri complessi (vedi sotto).

L'insieme dei numeri complessi è uno spazio vettoriale, in quanto i suoi elementi possono esser visti come vettori e godono della proprietà di linearità:

L'unità reale e lo zero godono delle stesse proprietà valide con i numeri reali:

• 0 · z = z · 0 = 0
• 1 · z = z · 1 = 1

L'unità immaginaria gode invece di altre proprietà caratteristiche:

• 𝒾 · (a, 0) = (0, a)
• 𝒾 · (0, b) = (− b, 0)
• 𝒾 · (a, b) = (− b, a)

In particolare, vale la seguente proprietà molto importante:

Da questo risultato si capisce che all'interno dei numeri complessi non vale più la regola che i quadrati dei numeri non possono esser negativi, e che quindi possiamo fare le radici quadrate anche di numeri negativi! Inoltre dalle proprietà delle potenze, possiamo ricavare le potenze dell'unità immaginaria, che hanno risultati ciclici:

𝒾 ⁰ = 1,   𝒾 ¹ = 𝒾,   𝒾 ² = − 1,   𝒾 ³ = − i

𝒾 ⁴ = 1,   𝒾 ⁵   =   𝒾,   …

In generale, se k è un qualunque numero intero:

Proprietà: c'è una corrispondenza biunivoca tra i numeri complessi e i punti del piano: ℂ ≅ ℝ x ℝ. Per questo motivo l'insieme dei complessi è ordinabile, denso e continuo.

Per questo motivo i numeri complessi posso esser associato a punti di un particolare piano cartesiano, chiamato piano di Gauss; in questo piano ogni numero z = (a, b) corrisponde ad un punto P = (a; b) del piano, in cui la parte reale a corrisponde all'ascissa di P e la parte immaginaria all'ordinata di P; l'asse x è l'asse reale ℝ, infatti tutti i punti sull'asse x corrispondono a numeri reali; l'asse y è l'asse immaginario ℑ poiché i punti sull'asse y sono numeri immaginari. L'origine O = (0, 0) è lo zero di entrambi gli assi (vedi figura 2).

Una importante proprietà dell'insieme ℂ è che è un insieme algebricamente chiuso: ogni polinomio di grado n ha esattamente n zeri complessi, ogniuno contato con la propria molteplicità.

In algebra lineare, la terna ( ℂ, +, × ) è un campo.

^
Torna su

Forme di rappresentazione

♦ Forma algebrica ♦

Ogni numero complesso può esser visto come la combinazione lineare di due elementi unitari:

Quindi un generico numero complesso si può scrivere quindi in forma algebrica nel seguente modo:

O più comodamente:

In questo modo possiamo svolgere i calcoli tra numeri complessi utilizzando anche le classiche proprietà di monomi e polinomi.

^
Torna su

♦ Forma trigonometrica ♦

Consideriamo un numero complesso z = (a, b) nel piano di Gauss, e introduciamo le seguenti coordinate polari:

• ρ ≥ 0 è il modulo di z, |z|, già introdotto in precedenza; nel piano di Gauss corrisponde alla distanza dall'origine O, ossia la lunghezza del segmento Oz;
• θ ∈ [0; 2π) è l'argomento di z; nel piano di Gauss corrisponde all'angolo tra l'asse reale e il segmento Oz.

Le coordinate polari, per distinguerle da quelle cartesiane, spesso si racchiudono tra parentesi quadre:

z = [ρ, θ]

Usando le regole geometriche e trigonometriche dei triangoli rettangoli, abbiamo:

(*) Osserviamo che la funzione arctg è definita solo se a ≠ 0; nel caso in cui a = 0, per calcolare θ ci basiamo su b: se b > 0 allora θ = +π/2, mentre se b < 0 allora θ = −π/2.

Grazie a queste formule possiamo passare dalla forma algebrica di un numero complesso alla forma trigonometrica:

Tale forma è molto utile per svolgere le operazioni di moltiplicazione e di divisione tra numeri complessi, ed è fondamentale per le operazioni di potenze e radici.

• la moltiplicazione tra due numeri complessi in forma trigonometrica z₁ = [ρ₁, θ₁] e z₂ = [ρ₂, θ₂], consiste nel moltiplicare i due moduli e sommare gli argomenti:
  z₁ · z₂ = ρ₁ ρ₂ (cos(θ₁ + θ₂) + i sin(θ₁ + θ₂))
• la divisione tra due numeri complessi in forma trigonometrica z₁ = [ρ₁, θ₁] e z₂ = [ρ₂, θ₂] ≠ 0, consiste nel dividere i due moduli e sottrarre gli argomenti:
  z₁ ∶ z₂ = (ρ₁ / ρ₂) (cos(θ₁ − θ₂) − i sin(θ₁ − θ₂))
• la potenza n-ma di un numero complesso in forma trigonometrica z = [ρ, θ] si ottiene elevando a potenza il modulo e moltiplicando per n l'argomento:
  zⁿ = ρⁿ (cos(nθ) + i sin(nθ))
• la radice n-ma di un numero complesso in forma trigonometrica z = [ρ, θ] si ottiene facendo la radice n-ma del modulo e dividendo per n l'argomento:
  ⁿ√z; = ⁿ√ρ (cos(θ/n) + i sin(θ/n))

Osservazione: ricordiamo che per ottenere la radice di un numero reale, dobbiamo fare alcune distinzioni: le radici di indice dispari si possono sempre ricavare e hanno sempre una sola soluzione; le radici di indice pari si possono ricavare solo se il radicando non è negativo: se è zero, hanno come unica soluzione zero; se è positivo, hanno due soluzioni opposte.
Al contrario la radice n-ma di un numero complesso z può esser sempre ottenuta, e (se z ≠ 0) ha sempre esattamente n soluzioni distinte.
Nella formula precedente abbiamo scritto come trovare la prima radice; in generale le n radici si ottengono aggiungendo la periodicità 2kπ all'argomento nella forma trigonometrica, che diventa 2kπ/n nell'argomento della radice, e studiando tutti i casi possibili all'interno di 2π, ottenuti assegnando a k tutti i valori interi da 0 a n − 1.

^
Torna su

♦ Forma esponenziale ♦

Partendo dalla forma trigonometrica, un numero complesso si può scrivere anche in una notazione più sintetica e pratica, che sfrutta la seguente formula di Eulero:

Tale forma è chiamata forma esponenziale di un numero complesso:

La forma esponenziale, sfruttando le coordinate polari introdotte in precedenza, permette di svolgere le stesse operazioni della forma trigonometrica e di sfruttare le stesse proprietà, che si accordano perfettamente con le proprietà delle potenze:

• z₁ · z₂ = ρ₁ ρ₂ e ^{𝒾 (θ₁ + θ₂)}
• z₁ ∶ z₂ = (ρ₁ / ρ₂) e ^{𝒾 (θ₁ − θ₂)}
• zⁿ = ρⁿ e ^{𝒾 n θ}
• ⁿ√z = ⁿ√ρ e ^{𝒾 θ / n}

Inoltre, utilizzando la forma esponenziale si possono calcolare anche esponenziali e logaritmi con numeri complessi.
Consideriamo un numero reale positivo B e un complesso z = a + ib = ρ e ^{𝒾 θ}.

• l'esponenziale di base B ed esponente z ha per modulo la potenza in base B, elevato alla parte reale di z e per argomento la parte immaginaria di z moltiplicata per il logaritmo naturale della base:
  B^z = e^{z ln(B)} = e^{a ln(B)} · e^{𝒾 b ln(B)}
  Da cui segue che:
  B^z = B^a (cos(b ln(B)) + 𝒾 sin(b ln(B)))
• il logaritmo di base B di un numero complesso z ha per modulo il logaritmo in base B del modulo ρ di z, e per argomento l'argomento θ di z moltiplicato per 𝒾 ln(B):
  log _B (z) = log _B (ρ) + log _B (e^{𝒾 θ})
  Da cui segue che:
  log _B (z) = log _B (ρ) + 𝒾 θ ln (B)

Per quanto riguarda la radice e il logaritmo, valgono le stesse osservazioni fatte sopra e viste anche nell'esempio 15, riguardo la periodicità.

^
Torna su

<<< Precedente   -   Successivo >>>