Introduzione - Naturali e Interi - Razionali - Reali - Complessi - Quaternioni

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CONTENUTO DELLA PAGINA
I numeri naturali
I numeri interi

I numeri naturali

Simbolo: ℕ

Cardinalità: ℵ₀

Definizione: i numeri naurali sono quelli utilizzati per contare: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7… esiste un numero di partenza (1) ma non esiste alcun numero di arrivo.
L'insieme dei naturale è definito dagli assiomi di Peano, come l'insieme contenente il numero 1 e tutti i suoi successori.

Osservazione: in alcuni contesti, come in informatica, i matematici considerano lo 0 (invece che 1) come numero di partenza, e ponendo quindi 1 come successore di 0, per questioni di completezza: con lo 0 si può definire l'1, ma con l'1 non si può definire lo 0, come si capisce leggendo gli assiomi; la decisione di scegliere 0 o 1 è personale, ma occorre poi rimanere coerenti con la scelta fatta; spesso si preferisce escludere lo 0 dai naturali in quanto non viene utilizzato normalmente per contare e genera dei problemi con le potenze, e si preferisce introdurlo poi con i numeri interi relativi; altre volte invece si preferisce includere lo 0 tra i numeri naturali come elemento neutro dell'addizione; entrambe le scelte sono corrette, a patto di non fare confusione tra esse.
In queste pagine seguiamo in genere la prima convenzione, fissando il numero 1 come il primo numero naturale, e introducendo lo 0 con i numeri interi relativi.

Operazioni: l'opearazione più semplice usata nei numeri naturali è quella di successore, introdotta negli assiomi di Peano: ogni numero naturale possiede il suo successore e non esistono numeri che non hanno successori; l'addizione, la moltiplicazione e la potenza tra numeri naturali sono ben definite, anch'esse si possono sempre fare all'interno di ℕ e il risultato che si ottiene è sempre un numero naturale; da osservare che queste operazioni hanno uno schema di ragionamento simile, via via più avanzato.

• l'addizione (+) tra due numeri naturali (addendi) si esegue contando di seguito i due numeri: il risultato (la somma) è un numero naturale ottenuto applicando l'operazione di successore partendo dal primo addendo, tante volte quanto indicato dal secondo addendo; l'addizione gode delle proprietà commutativa, associativa e dissociativa; l'elemento neutro è lo 0 che, come abbiamo visto può esser considerato anche un numero naturale;
• la moltiplicazione (× oppure ·) tra due numeri naturali (fattori) consiste nel ripetere il primo numero tante volte quanto corrisponde al secondo numero; il risultato (prodotto) tra due numeri naturali è un numero naturale ottenuto dalla somma di tanti termini uguali al primo fattore, tante volte quanto indicato dal secondo fattore; la moltiplicazione gode delle proprietà commutativa, associativa, dissociativa e distributiva rispetto alla somma; l'elemento neutro è l'1; per svolgere le moltiplicazioni tra i primi numeri naturali, è molto utile imparare le tabelline (vedi file nella sezione Download) studiate alle elementari!
• l'elevamento a potenza (^) tra due numeri naturali (base ed esponente) corrisponde al moltiplicare più volte il numero di base; il risultato (la potenza) tra i due numeri naturali è un numero naturale ottenuto dalla prodotto di tanti termini uguali alla base, tante volte quanto indicato dall'esponente; gode delle proprietà distributiva rispetto al prodotto e delle proprietà caratteristiche delle potenze; non gode della proprietà commutativa; l'elemento neutro è l'1, ma solo se messo come esponente; non possiede elemento neutro alla base.

Al contrario le altre operazioni non sono ben definite, si possono fare solo sotto alcune limitazioni:

• la sottrazione (−) è introdotta come l'operazione inversa dell'addizione: il risultato (la differenza) della sottrazione tra due numeri naturali (minuendo e sottraendo) è quel numero che sommato al sottraendo mi fa ottenere il minuendo; tuttavia si può fare solo se il minuendo è maggiore del sottraendo; la sottrazione gode solo della proprietà invariantiva;
• la divisione (÷ oppure ∶) è introdotta come l'operazione inversa della moltiplicazione: il risultato (il quoziente) tra due numeri naturali (dividendo e divisore) è quel numero che moltiplicato al divisore mi fa ottenere il dividendo; si può fare solo se il divendo è multiplo del divisore; in caso contrario compare un risultato secondario, il resto della divisione; la divisione gode delle proprietà invariantiva e distributiva rispetto alla somma (ma solo se si distribuisce il dividendo).
• l'estrazione di radice (√ ) è introdotta come prima operazione inversa dell'elevamento a potenza: il risultato (la radice) tra due numeri naturali (indice e radicando) è quel numero che avendo come esponente l'indice della radice, mi fa ottenere il radicando; si può fare solo se il radicando è una potenza di esponente multiplo dell'indice della radice; gode delle proprietà distributiva rispetto al prodotto (solo se si discribuisce il radicando) e delle proprietà caratteristiche delle radici;
• l'operazione di calcolo del logaritmo (log) è introdotta come una seconda operazione inversa dell'elevamento a potenza: il risultato (logaritmo) tra due numeri naturali (base e argomento) è quel numero che posto come esponente della base mi fa ottenere come risultato l'argomento; si può fare solo se l'argomento è una potenza della base; gode di proprietà molto particolari, che discendono dalle proprietà delle potenze.

Proprietà: l'insieme ℕ è un insieme ordinato, infinito, numerabile e discreto; è limitato inferiormente ed illimitato superiormente: possiede un elemento minimo, ma non un elemento massimo; ogni sottoinsieme di ℕ possiede sempre un elemento minimo, ma può non possedere un elemento massimo.
Dal punto di vista algebrico è un semigruppo rispetto all'addizione e, se includiamo anche lo zero, diventa un monoide (semigruppo unitario); inoltre è un modoide rispetto alla moltiplicazione.

Interessanti sottoinsiemi dei numeri naturali, anch'essi illimitati superiormente e numerabili, sono:

• l'insieme dei numeri primi ℙ: un numero primo è un numero naturale maggiore di 1 divisibile solo per se stesso e per 1;
  ℙ = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, … }
• l'insieme dei numeri pari 𝒫: un numero pari è un numero naturale divisibile per due;
  𝒫 = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, … }
• l'insieme dei numeri dispari 𝒟: un numero dispari è un numero naturale non divisibile per due;
  𝒟 = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, … }
• l'insieme ℳₙ dei numeri divisibili per un certo numero n: quindi tutti i multipli del numero dato, ad esempio:
  ℳ₆ = { 6, 12, 18, 24, 30, … }
• l'insieme dei numeri quadrati 𝒬: un quadrato è un numero la cui radice quadrata è un numero naturale;
  𝒬 = { 1, 4, 9, 16, 26, 36, … }
• l'insieme dei numeri di Fibonacci ℱ: tale insieme contiene gli elementi della successione di Fibonacci in cui ogni numero è dato dalla somma dei due numeri precedenti;
  ℱ = { 1, (1), 2, 3, 5, 8, … }

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I numeri interi (relativi)

Simbolo: ℤ

Cardinalità: ℵ₀. L'insieme dei numeri interi e l'insieme dei numeri naturali possono esser messi in corrispondenza biunivoca.

Definizione: l'insieme dei numeri interi contiene tutti i numeri naturali, lo zero e i loro opposti, definiti nel seguente modo:

L'opposto di un numero intero a si indica con -a.
Da questa definizione seguono molte proprietà ad esempio:

La simbologia può provocare ambiguità tra il segno di opposto e il segno di sottrazione… per fortuna tale ambiguità non è problematica poiché, da quanto si legge nelle proprietà precedenti ogni sottrazione può esser vista come un'addizione.

L'insieme dei numeri interi quindi contiene:

• i numeri naturali, che assumono il nome di interi positivi: +1, +2, +3, +4, +5…
• gli opposti dei numeri naturali, che assumono il nome di interi negativi: -1, -2, -3, -4, -5…
• lo 0, che non è né positivo né negativo.

Due numeri aventi lo stesso segno di dicono concordi; se hanno segno diverso si dicono discordi.

Di ogni numero intero possiamo definire il valore assoluto, nel seguente modo:

Il valore assoluto di un numero intero è quindi sempre 0 o un intero positivo, non può esser mai un intero negativo; quindi possiamo considerare il valore assoluto come un numero naturale.
Inoltre ogni numero intero può esser visto come composto dal suo segno e dal suo valore assoluto.
Questa osservazione è molto utile, in quanto permette di trasferire molte regole e proprietà dei numeri interi a quelle dei numeri naturali, come ad esempio le proprietà delle operazioni.

Operazioni: l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la potenza tra numeri interi sono ben definite, si possono sempre fare all'interno di ℤ e il risultato che si ottiene è sempre un numero intero; in particolare:

• addizione: la somma tra due numeri interi è un numero intero avente il segno del numero in valore assoluto maggiore; se gli addendi sono concordi si effettua un'addizione tra i valori assoluti, mentre se sono discordi una sottrazione;
• sottrazione: la differenza tra due numeri interi si ottiene sommando al primo termine l'opposto del secondo termine, come visto nelle proprietà;
• moltiplicazione: il prodotto tra due numeri interi è un numero intero avente il segno positivo se i fattori sono concordi, negativo se non discordi, e per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti dei due fattori;
• elevamento a potenza: la potenza di un numero intero è un numero intero avente in valore assoluto la potenza della base; il segno è sempre positivo se l'indice della potenza è pari, mentre resta quello della base se l'indice è dispari.

• divisione: si può fare solo se il divendo è multiplo del divisore; la divisione tra due numeri interi segue la regola dei segni della moltiplicazione, e ha per valore assoluto il quoziente tra i valori assoluti dei numeri iniziali;
• estrazione a radice: se l'indice è pari si può fare solo se il radicando è positivo ed è una potenza di esponente multiplo dell'indice della radice; al contrario se l'indice è dispari si può fare qualunque sia il segno del radicando, sempre però solo se il radicando è una potenza di esponente multiplo dell'indice della radice;
• logaritmo: si può fare solo se la base e l'argomento sono positivi ed se l'argomento è una potenza della base; per questo il logaritmo di un numero intero si riconduce al caso dei numeri naturali.

Proprietà: l'insieme ℤ è ordinato, infinito, numerabile e discreto; non possiede né un elemento minimo né un elemento massimo.

ℤ può esser messo in corrispondenza biunivoca ℕ, avendo i due insiemi la stessa cardinalità; un esempio di corrispondenza biunivoca può esser dato per mezzo della relazione ℛ così definita:

Dal punto di vista algebrico (ℤ, +) è un gruppo, mentre (ℤ, ×) è un monoide.

Interessanti sottoinsiemi di ℤ sono gli ℤₙ, gli insiemi delle classi resto modulo n, ossia tutti i possibili resti della divisione per un numero naturale n fissato, con le operazioni di addizione e moltiplicazione cicliche; ad esempio:

• ℤ₂ = {0, 1} è il gruppo binario, in cui: 1 + 1 = 0, che indica ad esempio l'insieme delle simmetrie dei punti nel piano rispetto ad una data retta;
• ℤ₁₂ = {0, 1, 2, … 11} rappresenta ad esempio l'insieme delle ore dell'orologio.

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