Introduzione - Naturali e Interi - Razionali - Reali - Complessi - Quaternioni

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I numeri quaternioni

I numeri quaternioni

Simbolo: ℍ

Cardinalità: ℵ₁. L'insieme dei numeri quaternioni ha la stessa Cardinalità dell'insieme dei numeri reali.

Definizione: l'insieme dei numeri quaternioni è l'insieme di tutti quadrti-vettori w = (a, b, c, d) a coefficienti reali.

Questo insieme è un'ulteriore estensione degli insiemi numerici che tuttavia non si studia mai alle superiori. La lettera H che simboleggia tale insieme è in onore a W.R. Hamilton che li studiò nel diciannovesimo secolo.
L'insieme dei quaternioni si forma introducendo altre due unità j e k, equivalenti all'unità immaginaria nel campo complesso, e con le stesse proprietà.

• il numero (1, 0, 0, 0) è l'unità reale, identificata col normale simbolo 1;
• i numeri (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1) sono dette unità non reali, identificate con i simboli 𝐢, 𝐣, 𝐤.
• il numero (0, 0, 0, 0) è lo zero dei numeri quaternioni e si indica con normale simbolo 0;
• il coniugato di un numero w è il numero quaternione w = (a, − b, − c, − d)
• il modulo di un numero quaternione w è il numero reale positivo |w| = √a² + b² + c² + d²;

Dato un quaternione w = (a, b, c, d), il termine a è chiamato parte reale, mentre il vettore v = (b, c, d) è il vettore immaginario.
Da quest'ultima definizione possiamo scrivere i numeri quaternioni nel seguente modo più sintetico:

• w = (a, v)
• w = (a, − v)
• |w| = √a² + v²

Essendo v² = b² + c² d².

Operazioni: all'interno dell'insieme ℍ valgono le operazioni con le stesse regole algebriche del campo complesso; inoltre valgono le seguenti leggi di moltiplicazione tra le unità:

Dati due numeri w₁ = (a₁, v₁) e w₂ = (a₂ v₂), si hanno le seguenti operazioni che richiamano le operazioni tra complessi, estendendole ai quadri-vettori:

• Linearità:
  w₁ + w₂ = (a₁ + a₂, v₁ + v₂)
  w₁ − w₂ = (a₁ − a₂, v₁ − v₂)
  k₁ w₁ + k₂ w₂ = (k₁a₁ + k₂a₂, k₁v₁ + k₂v₂)
• Prodotto:
  w₁ w₂ = (a₁a₂ − v₁·v₂, a₁v₂ + a₂v₁ + v₁×v₂)
• Reciproco:
  w ⁻¹ = w · |w| ⁻¹ = (a / √a² + v², − v / √a² + v²)
• Quoziente:
  w₁ ∶ w₂ = w₁ · (w₂)⁻¹ =

  =   (

  a₁a₂ − v₁v₂ρ₂

  ,

  a₂v₁ − a₁v₂ − v₁×v₂ρ₂

  )

Essendo · il prodotto scalare tra vettori, e × il prodotto vettoriale (vedi operazioni tra vettori nelle sezioni di Fisica).

Proprietà: l'insieme ℍ può esser messo in corrispondenza biunivoca con uno spazio a 4 dimensioni: ℍ ≅ ℂ × ℂ ≅ ℝ⁴; in particolare ℍ è uno spazio vettoriale di dimensione 4, nel quale il sottoinsieme formato dalle quattro unità 1, i, j, k è una base: ogni numero quaternione è una combinazione lineare delle quattro unità: dato infatti un numero quaternione w = (a, b, c, d), esso può esser scritto:

w = a + 𝐢b + 𝐣c + 𝐤d

Tale scrittura corrisponde alla forma algebrica. Ovviamente possiamo rappresentare i quaternioni in diverse forme, a seconda del sistema di riferimento utilizzato, proprio come i numeri complessi; ad esempio possiamo scriverli in forma trigonometrica, aiutandoci con le seguenti variabili:

• ρ → il modulo di w, distanza dal centro
• θ → angolo rispetto l'asse x
• φ → angolo rispetto al piano xy
• ω → angolo rispetto all'iperpiano xyz

In questo modo poniamo:

• a = ρ cos(ω) cos(φ) cos(θ)
• b = ρ cos(ω) cos(φ) sin(θ)
• c = ρ cos(ω) sin(φ)
• d = ρ sin(ω)

E otteniamo la forma trigonometrica:

w = ρ [cos(ω) cos(φ) cos(θ) + 𝐢 cos(ω) cos(φ) sin(θ) + 𝐣 cos(ω) sin(φ) + 𝐤 sin(ω)]

In algebra lineare la quaterna (ℍ, +, × ) è un corpo: non è un campo in quanto la moltiplicazione, come si nota dalla tabella, non è più commutativa.
Un importante sottogruppo dell'insieme dei quaternioni è l'insieme generato dalle quattro unità: con la sola operazione di prodotto:

Q₈ = { ± 1, ± i, ± j, ± k }

Tale gruppo è un gruppo non abeliano di ordine 8.

Un altro importante sottogruppo dell'insieme dei quaternioni è quello dei quaternioni unitari, contenente tutti i quaternioni avente modulo uguale a 1.

Q_u = { w ∈ ℍ : |w| = 1 }

Nello spazio a 4 dimensioni i quaternioni unitari formano una iperspera (una sfera in quattro dimensioni appunto); anche tale sottogruppo non è abeliano, e ha la stessa cardinalità di ℍ

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