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CONTENUTO DELLA PAGINA
Le forme algebriche
Le altre forme
Limiti notevoli

Una forma indeterminata, o forma di indecisione è una situazione generica in cui il calcolo dei limiti può portare a più soluzioni; di conseguenza in presenza di forme indeterminate non possiamo fornire un risultato automatico, come invece abbiamo visto che si può fare nei casi precedenti (vedi le operazioni); qui dobbiamo studiare la situazione caso per caso, per capire come aggirare l'indeterminazione.

Risolvere una forma indeterminata è come sbrogliare una matassa: bisogna ripartire dall'espressione iniziale e riscriverla in un modo diverso (a volte più semplice, altre volte più complesso) e provare a vedere in questo nuovo modo è scomparsa l'indeterminazione.

Come regola generale quindi, per risolvere una forma indeterminata occorre:

1. ripartire dall'espressione iniziale, quella che avevamo prima di effettuare la sostituzione, e provare ad applicare passaggi algebrici di vario tipo;
2. dopo aver modificato l'espressione, cercare termini che si possano semplificare (ovviamente senza tornare all'espressione iniziale);
3. dopo aver semplificato, provare a ricalcolare il limite utilizzando la nuova espressione.

In alcuni casi sono necessari diversi passaggi, partendo da forme molto complesse e andandole a risolverle, oppure rigirandole in altre forme più semplici da gestire.
Vedremo ora le principali forme indeterminate, e le strategie migliori per risolverle.

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Le forme algebriche

Forme:   +∞ − ∞   e   −∞ + ∞

Risoluzione:

• Nel caso in cui l'espressione iniziale sia un normale polinomio (caso più comune) è sufficiente effettuare un raccoglimento totale, mettendo a fattor comune la x di grado maggiore, anche se non è un vero fattore in comune.
• Se sono presenti espressioni irrazionali, occorre invece provare a razzionalizzarla, ossia moltiplicare e dividere per un'espressione opportuna, spostando le radici in un eventuale denominatore.
• Se compaiono anche funzioni trascendenti (sen, cos, log…), possiamo provare ad uscirne applicando alcune proprietà di tali funzioni.
• Come ultimo metodo (più avanzato) possiamo aiutarci con il confronto tra infiniti, o con le regole dei limiti notevoli.

Forme:   ∞ · 0   e   0 · ∞

Risoluzione:

• Nel caso in cui abbiamo moltiplicazioni tra espressioni fratte, possiamo applicare le operazioni tra frazioni, cercando eventuali fattori da semplificare.
• Se sono presenti espressioni irrazionali, può esser utile razzionalizzare, come visto prima, ma in questo caso non sempre è utile.
• Altrimenti è possibile trasformare la moltiplicazione in una divisione, usando le regole delle frazioni, per scrivere la nostra espressione come una frazione (eventualmente a puù livelli) e a questo punto, pur non avendo risolto la forma, l'abbiamo rigirata in un altro tipo, più gestibile: ∞ ∶ ∞ oppure 0 ∶ 0.

Forma:   ∞ ∶ ∞

Risoluzione:

• Questa è di fatto la forma indeterminata più frequente negli esercizi, suprattutto nello studio di funzioni algebriche fratte; in questo caso occorre raccogliere a fattor comune i termini di grado maggiore del numeratore, e poi del denominatore, quindi semplificare tra loro i due fattori raccolti.
• Se compaiono funzioni trascendenti, possiamo aggirare il problema con il confronto tra infiniti.
• Come ultimo metodo, possiamo coinvolgere le derivate e applicare il teorema di de L'Hospital.

Forma:   0 ∶ 0

Risoluzione:

• Se l'espressione è una frazione algebrica (o se la si può rendere tale), è necessario scomporre in fattori numeratore e denominatore, con le classiche regole di scomposizione in fattori dei polinomi; infatti, per il teorema di Ruffini, il numeratore e il denominatore hanno sicuramente dei fattori in comune da semplificiare.
• Se compaiono funzioni trascendenti, possiamo anche qui aiutarci con il confronto tra infinitesimi o con le regole dei limiti notevoli.
• Come ultimo metodo, anche qui possiamo coinvolgere le derivate e applicare il teorema di de L'Hospital.

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Le altre forme

Forma:   (+∞) ⁰   e   (0) ⁰

Risoluzione:

• Per aggirare queste indeterminazioni è necessario usare le proprietà tra esponenziali e logaritmi, in particolare l'identità:

  a = e ^ln(a)

  essendo e la costante di Nepero e ln(a) il logaritmo naturale di a; tale identità vale per ogni numero a reale positivo.
  Nel nostro caso, abbiamo una potenza a ^b e questa identità si generalizza così

  a ^b = e ^{b · ln(a)}

  dove l'esponente b → 0, mentre la base a → +∞ (oppure a → 0); osserviamo che:
  se a → +∞ allora anche ln(a) → +∞,
  se a → 0 allora ln(a) → −∞,
  quindi, anche se non si risolvesse del tutto l'indeterminazione, comunque in entrambi i casi si può gestirla come una forma 0 · ∞, presente all'esponente.

Forma:   (1) ^∞

Risoluzione:

• Per risolvere questa forma indeterminata, in qualunque espressione compaia, è fondamentale riuscire a scriverla in questo modo:

  (1 + A) ^B

  essendo A e B espressioni variabili, dove A → 0, mentre B → +∞.
  Allora, per mezzo dei limiti notevoli possiamo trasformare l'espressione nel seguente modo:

  (1 + A) ^B   ↠   e ^{B / A}

  che ci permettono di risolverla completamente, o alla peggio di gestirla come una forma indeterminata algebrica, presente all'esponente.

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Limiti notevoli

I limiti notevoli sono particolari esempi di forme indeterminate trascendeti, che non si possono risolvere in modo tradizionale, ma che si riescono ad aggirare confrontando i limiti con limiti più semplici, grazie a particolari proprietà matematiche.

Di seguito elenchiamo i principali limiti notevoli, mostrando sia il caso fondamentale, sia l'applicazione pratica, utile a livello generale, che permette di trasformare le espressioni trascendenti in espressioni algebriche.

Importante: Il risultato di tali limiti notevoli vale solo se ci troviamo nella forma indeterminata 0 ∶ 0; in caso non compaia l'indeterminazione, o ne compaia una diversa, non possiamo utilizzare questi risultati!.

Funzioni goniometriche (¹)

(¹) la lettera A indica una qualunque espressione letterale.

Limite di Nepero

Un caso particolare è il limite di Nepero: esso scoprì che una determinata espressione, avente come forma indeterminata 1 ^∞, converge ad un valore numerico finito: tale valore è un numero irrazionale e trascendente, che appunto venne chiamato costante di Nepero, e si indica con la lettera e (per approfondire, vedi costante di Nepero).

Applicando di tale limite, possiamo risolvere tutte le forme indeterminate della forma a ^b, dove a → 1 e b → ∞, come abbiamo visto sopra.

Inoltre il limite di Nepero ci permette anche di individuare altri limiti notevoli:

Funzioni esponenziali e logaritmiche (²)

(²) la lettera b indica una base costante, mentre A indica una qualunque espressione letterale.

Ricordiamo che il logaritmo naturale (ln) ha proprio come base la costante di Nepero; quindi se nei limiti la base b coincide proprio con e, allora ln(e) = 1, e questo semplifica molto questi due risultati:

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