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<<< Precedente - Successivo >>> Continuità di una funzione Il concetto di continuità di una funzione è strettamente legato al concetto di limite visto nell'introduzione. Abbiamo visto come il limite sia un "valore stimato" della funzione, supposto in base allo studio dei valori limitrofi; e abbiamo osservato come questa stima ci aiuti a capire l'andamento della funzione, sebbene possa capitare che non sia coerente con il valore preciso in quel punto; altre volte capita che il valore della funzione non esiste proprio, per cui lo studio del limite serve a fornirci un valore che nella realtà della funzione non esiste. Fortunatamente non sempre accade questo: in genere ogni funzione che studiamo è facilmente "prevedibile", in quanto il valore della funzione in ogni suo punto va abbastanza d'accordo con i valori a lui vicino; e se facciamo variare poco poco la x, ci aspettiamo che anche la y non vari molto.
In altre parole, se il valore della funzione in x₀ è simile a quelli dei valori vicini ad x₀, allora avvicinandoci sempre di più ad x₀, i valori della funzione si avvicineranno sempre di più ad ƒ(x₀). Le tre condizioni elencate nella definizione sono tutte fondamentali:
Possiamo generalizzare e dire che:
e anche:
Come possiamo riconoscere una funzione continua? Dal punto di vista grafico è semplicissimo: una funzione continua si disegna dal suo estremo sinistro al suo estremo destro senza interruzioni. Anche dal punto di vista algebrico non è difficile studiare la continuità, come descritto nello studio dei punti di discontinuità. Come ultima cosa, possiamo definire la continuità da destra o da sinistra, nel caso in cui il limite studiato sia per l'appunto un limite da destra o da sinistra:
Teoremi sulle funzioni continue Vediamo ora alcuni teoremi, utili a capire perché sono importanti le funzioni continue, quali proprietà verificano.
Osservazione: nel caso particolare in cui la funzione sia costante, allora x₁ = x₂. Questo è uno dei teoremi più noti in analisi; la sua utilità non è fine a se stessa, ma ci permette di arrivare ad altri teoremi molto importanti. Il teorema di Weierstrass afferma l'esistenza di un valore massimo e un valore minimo per l'insime immagine della funzione, cosa che sembrerebbe scontata, ma non lo è: infatti l'insieme immagine potrebbe non esser un intervallo limitato, quindi i suoi estremi potrebbero non esser valori reali; ciò che è scontata è la presenza di un estremo superiore e di un estremo inferiore, ma tali valori non necessariamente sono massimo e minimo, come abbiamo visto nella pagina introduttiva. Tuttavia, se la funzione è definita su [a, b], allora il fatto di esser continua ci garantisce che anche l'insieme immagine sia un intervallo chiuso e limitato, ossia un insieme del tipo [c, d], dove c e d sono appunto valori che racchiudano tutte le immagini ƒ(x); tali valori c e d saranno quindi il valore massimo e minimo della funzione.
Questo teorema spiega che, se una funzione è continua, non possiamo avere due punti consecutivi di segno diverso: se in un x₀ la funzione è ad esempio positiva, allora non può accedere che x₀ sia l'unico punto in cui la funzione è positiva: vicino a lui ci saranno altri (infiniti) punti in cui la funzione continua ad esser positiva.
Il teorema di Weierstrass ci assicura che il massimo e il minimo della funzione esistono; questo teorema ci fornisce una proprietà ulteriore, ossia che l'immagine della funzione non ha buchi o interruzioni: se y₀ è un valore compreso tra il minimo e il massimo, allora è un'immagine della funzione, ossia esisterà almeno un x₀ ∈ [a, b] tale che ƒ(x₀) = y₀.
Quest'ultimo teorema è importantissimo, in quanto ci spiega un modo per studiare l'esistenza di uno zero per la funzione; infatti ogni funzione continua ha questa proprietà: se assume due segni differenti per due x differenti, allora necessariamente tra di essi dovrà valere zero; detto in altro modo, è impossibile che una funzione continua passi da valori negativi a positivi (o viceversa) senza attraversare l'asse x, e quindi senza mai valere zero. Osservazione: questo teorema ci garantisce l'esistenza degli zeri, ma non ci dice esattamente quali sono o come trovarli; tuttavia da questo teorema possiamo quindi ipotizzare l'esistenza degli zeri, sulla base del segno della funzione: se riusciamo a trovare due x per le quali la funzione ha segno opposto, allora tra di esse vi sarà almeno uno zero della funzione. Introduciamo ora il teorema di De L'Hospital, un teorema che permette di risolvere le forme indeterminate razionali (∞ ∶ ∞ e 0 ∶ 0) applicando il calcolo delle derivate. Di conseguenza non si studia insieme ai limiti e alle forme indeterminate, ma si introduce molto dopo. Per comodità in queste pagine lo descriviamo insieme allo studio dei limiti.
Punti di discontinuità Il primo passo per studiare la continuità è analizzare il Dominio della funzione: i punti in cui il Dominio si interrompe possono produrre discontinuità della funzione. Ricordiamo che una funzione ƒ è continua in un punto x₀, se:
Uno degli studi più utili per determinare la continuità di una funzione è lo studio dei punti di discontinuità, ossia quei punti del Dominio, o estremi del Dominio, in cui la funzione non è continua. Partiamo con il dire che le funzioni che si studiano a scuola sono quasi sempre continue in quasi tutti i loro punti; ad esempio tutte le funzioni polinomiali sono continue su tutto ℝ, così come anche il seno, il coseno e l'esponenziale; al contrario funzioni che hanno un Dominio con interruzioni (come alcune frazioni, la tangente e la cotangente) sono discontinue in tali punti. Possiamo classificare i punti di discontinuità in tre tipi diversi, a seconda di come si comportano in relazione alla definizione di continuità.
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