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Definizioni geometriche
Classificazione analitica

Definizioni geometriche

Un cono è una superficie di rotazione ottenuta fecendo ruotare nello spazio una retta r intorno ad un asse incidente con r.
Il punto d'intersezione è detto vertice del cono e ogni retta ottenuta dalla rotazione è detta generatrice del cono.

Da qui appunto il nome "conica"; dalla diversa inclinazione del piano si ottengono curve diverse.

Se l'intersezione tra il cono e il piano è degenere (ossia banale) si possono ottenere:

• un punto (piano passante solo per il vertice del cono)
• una retta (piano contenente una sola generatrice del cono, quindi tangente al cono)
• due rette incidenti (piano contenente due generatrici distine del cono)

In tutti gli altri casi l'intersezione tra il cono e il piano è una curva vera e propria; supponiamo che il cono abbia asse verticale (una posizione piuttosto comune), allora le curve che si ottengono possono esser classificate in 4 casi, a seconda dell'inclinazione del piano:

• la circonferenza (se il piano è orizzontale);
• l'ellisse (se il piano è leggermente inclinato);
• la parabola (se il piano è parallelo ad un lato del cono);
• l'iperbole (se il piano è molto inclinato).

Una conica può essere introdotta anche in un altro modo, ossia come luogo geometrico del piano:

Il punto F è detto fuoco, la retta d direttrice, e il rapporto costante e viene chiamato eccentricità.

Nella sezione Download potete trovare alcuni file per costruire una conica con programmi di geometria dinamica.

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Classificazione analitica

Nel piano cartesiano una conica è rappresentata da un'equazione di secondo grado in x e y:

Dove al variare dei coefficienti A, B, C, D, E, F in R si ottengono le diverse coniche. Ovviamente conviene supporre che A, B e C non siano contemporaneamente nulli, altrimenti la conica degenera in una retta o in un punto.
L'insieme dei punti che appartengono alla conica è costituito da tutti e soli i punti le cui coodinate verificano questa equazione.

Riprendendo la classificazione precedente, le diverse coniche (non degeneri) si distinguono a seconda del valore della loro eccentricità, in questo modo:

• la circonferenza (avente e = 0);
• l'ellisse (avente 0 < e < 1);
• la parabola (avente e = 1);
• l'iperbole (avente e > 1).

Nella figura 1 è mostrata un'animazione che raffigura come variando l'eccentricità si ottengano coniche diverse.

Possiamo considerare un'equazione in cui non compaiano coefficienti generici, ma quelli della direttrice, del fuoco e dell'eccentricità: tale equazione si ottiene imponendo la definizione, ossia il luogo dei punti per cui il rapporto tra le distante punto-fuoco e punto-direttrice sia uguale all'eccentricità.
Una conica avente direttrice d: ax + by + c = 0, fuoco F: (α, β) ed eccentricità e ≥ 0, è rappresentata dalla seguente equazione di secondo grado in x e y:

Svolgendo i calcoli, possiamo scrivere questa equazione in forma canonica, in cui:

• A = a² (1 − e²) + b²
• B = a² + b² (1 − e²)
• C = 2ab e²
• D = −2 [α (a² + b²) + ac e²]
• E = −2 [β (a² + b²) + bc e²]
• F = (a² + b²)(α² + β²) − c² e²

Osservazione: La circonferenza è un caso limite di ellisse, e si ottiene nel caso in cui l'eccentricità vale 0; questo si verifica se la distanza dal fuoco è nulla (si ottiene un punto) o se la distanza dalla direttrice è infinita (una normale circonferenza); di conseguenza per descrivere una circonferenza non si può utilizzare tale equazione, ma si dovrà tornare all'equazione generale.

Nella pagina successiva è possibile interagire con una animazione di una conica: clicca qui.

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