Il piano cartesiano, essendo un comune piano, contiene infiniti punti; grazie al riferimento cartesiano che è fissato nel piano cartesiano, possiamo individuare la posizione ogni punto per mezzo di una coppia di numeri reali, chiamate coordinate del punto: le coordinate si scrivono racchiuse in parentesi tonde e separate da un punto e virgola (o da una virgola):
( x ; y )
Tali coordinate hanno un nome e un ruolo ben preciso:
Il valora a sinistra, indicato con la x, è chiamato ascissa del punto.
Il valora a destra, indicato con la y, è chiamato ordinata del punto.
L'ascissa rappresenta la distanza (con segno) del punto dall'asse delle ordinate, mentre l'ordinata rappresenta la distanza (con segno) del punto dall'asse delle ascisse.
In alcuni casi, per indicare le coordinate di un determinato punto, ad esempio P, si aggiunge una piccola lettera dopo le coordinate:
P = ( xP ; yP )
In base a quello che abbiamo detto sul piano cartesiano e sul sistema di riferimento, possiamo stabilire il segno delle coordinate di un punto a senconda di dove esso si trova:
i punti a destra dell'asse y hanno ascissa positiva; quelli a sinistra hanno ascissa negativa; i punti situati sull'asse y hanno ascissa uguale a zero;
i punti al di sopra delll'asse x hanno ordinata positiva; quelli al di sotto hanno ordinata negativa; l'ordinata dei punti situati sull'asse x vale zero;
Da questo si ottiene che:
i punti nel primo quadrante hanno coordinate positive;
i punti nel secondo quadrante hanno ascissa negativa, ordinata positiva;
i punti nel terzo quadrante hanno coordinate negative;
i punti nel quarto quadrante hanno ascissa positiva e ordinata negativa.
Esempio 1a.Determiniamo le coordinate dei punti in figura 1.
Figura 1
Svolgimento. Le coordinate di un punto dipendono solamente dalla sua posizione, rispetto agli assi cartesiani. Come si può vedere dalla figura 1, il punto O ha coordinate (0; 0) ed è l'origine degli assi; nella figura sono presenti altri esempi di punti:
il punto A si trova nel primo quadrante e ha coordinate (+2; +1);
il punto B si trova nel secondo quadrante e ha coordinate (−3; +4);
il punto C si trova nel terzo quadrante e ha coordinate (−1; −3).
« La matematica non si capisce,
alla matematica ci si abitua »
Di seguito sono riportate le più comuni formule che coinvolgono i punti nel piano cartesiano.
♦ Distanza tra due punti A e B che hanno uguale ascissa:
AB = | yB − yA |
♦ Distanza tra due punti A e B che hanno uguale ordinata:
AB = | xB − xA |
♦ Distanza tra due punti A e B (caso generale):
AB = √(xB − xA)² + (yB − yA)²
Esempio 1b.Riprendiamo l'esempio precedente e calcoliamo la lunghezza del segmento di estremi A e B.
Svolgimento. Le coordinate del punto A sono (+2; +1), mentre quelle del punto B sono (−3; +4); osserviamo che questi due punti hanno ascisse diverse e ordinate diverse, per cui applichiamo la formula generale della distanza tra due punti:
AB = √(xB − xA)² + (yB − yA)² =
= √(− 3 − 2)² + (+ 4 − 1)² =
= √(− 5)² + (+ 3)² =
= √25 + 9 = √34
Conclusione: la lunghezza del segmento AB è √34.
Esempio 2.Calcoliamo il perimetro del triangolo di vertici A = (0; &minu; 3), B = (5; − 3), C = (5; 9).
Svolgimento. Per determinare il perimetro dobbiamo calcolare la lunghezza dei tre lati, usando le formule opportune.
I punti A e B hanno la stessa ordinata, quindi usiamo la formula:
AB = | xB − xA | =
= | 5 − 0 | = 5
I punti B e C hanno la stessa ascissa, quindi usiamo la formula:
BC = | yC − yB | =
= | 9 − (− 3) | = 12
I punti A e C hanno coordinate differenti, quindi usiamo la formula generale:
AC = √(xC − xA)² + (yC − yA)² =
= √(5 − 0)² + [9 − (− 3)]² =
= √5² + 12² =
= √25 + 144 =
= √169 = 13
Il perimetro si ottiene sommando le lunghezze dei tre lati:
2p = AB + BC + AC =
2p = 5 + 12 + 13 = 30
Conclusione: Il perimetro del triangolo ABC è 30.
♦ Punto medio M, tra due punti A e B:
xM =
xA + xB
2
yM =
yA + yB
2
♦ Punto estremo B, sapendo il punto medio M e l'altro estremo A:
(B è il simmetrico di A, rispetto a M)
xB = 2xM − xA
yB = 2yM − yA
Esempio 3.Consideriamo il parallelogramma ABCD, dove A = (−3; −1), B = (5; −2), C = (2; 5); determiniamo le coordinate del vertice D.
Svolgimento. Possiamo determinare le coordinate di D sfruttando le (numerose) proprietà di cui godono i parallelogrammi; in particolare è utile la proprietà per cui le diagonali si incrociano nel punto medio di entrambe: esse hanno il punto medio in comune.
Quindi per prima cosa consideriamo la diagonale AC e troviamo il suo punto medio M:
xM =
xA + xC
2
=
− 3 + 2
2
= −
1
2
yM =
yA + yC
2
=
− 1 + 5
2
= 2
Il punto medio M ha coordinate M = (−½; 2).
A questo punto passiamo alla diagonale BD, la quale possiede lo stesso punto medio; il punto D è il simmetrico di B, rispetto ad M, quindi possiamo usare la formula del punto simmetrico:
