Dati due punti F1 e F2 del piano, l'iperbole è il luogo di tutti i punti P del piano per cui è costante la differenza delle distanze da questi punti: PF1 − PF2.
I punti F1 e F2 sono detti fuochi dell'iperbole.
I punti F1 e F2 sono detti fuochi dell'iperbole.
La parabola è un caso molto particolare di iperbole, avente un fuoco a distanza infinita.
In genere i fuochi sono due qualunque punti del piano; nel caso in cui i fuochi siano sugli assi cartesiani, disposti simmetricamente rispetto all'origine, si parla di iperbole riferita agli assi cartesiani; l'equazione di una tale iperbole può esser calcolata facilmente.
Quindi in questa pagina considereremo solo un caso particolare di iperbole: quelle aventi i fuochi sull'asse delle x, simmetrici rispetto all'origine. Per quanto riguarda le iperboli aventi i fuochi sull'asse y, è sufficiente applicare la simmetria:
x' = y e y' = x
ai calcoli di seguito effettuati.
Figura 1
Poniamo: F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0)
con c reale positivo; il caso c = 0 lo possiamo anche accettare, ma l'iperbole degenera nell'unione di due rette per l'origine aventi coefficienti angolari opposti.
Supponiamo che la differenza costante delle distanze valga 2a, con 0 < a < c, e consideriamo un generico punto P = (x, y) dell'iperbole (vedi figura 1).
Applicando la definizione otteniamo la seguente equazione:
essendo a < c, possiamo porre: c² − a² = b²
Sotto tali ipotesi l'equazione dell'iperbole si scrive nella forma:
−b²x² + a²y² = −a²b²
Dividendo ambo i membri per −a²b², otteniamo l'equazione canonica di un'iperbole con i fuochi sull'asse delle x e centro nell'origine:
ℐ :
x²
a²
−
y²
b²
= 1
con a e b coefficienti reali positivi, diversi da zero.
In maniera analoga si può ottenere l'equazione canonica di un'iperbole con i fuochi sull'asse delle y e centro nell'origine:
Geometricamente l'iperbole è una sezione conica ottenuta intersecando la superficie di un cono circolare con un piano "molto inclinato".
Per la precisione, supponendo che l'asse del cono sia verticale, l'inclinazione del piano deve essere superiore all'inclinazione di una generatrice del cono.
Il fatto che l'iperbole abbia due rami dipende dal fatto che consideriamo un cono completo, ottenuto dalla rotazione di una retta intorno ad un asse non parallelo ad essa; di conseguenza il cono si estende sia sopra che sotto il vertice, e la sua intersezione con un piano genera due curve distinte.
Nel caso in cui il piano passa per il vertice l'iperbole degenera in due rette incidenti.
Ricordiamo che una conica può esser definita come luogo nel seguente modo:
Dati un punto F e una retta d, ed essendo H la proiezione di P su d, una conica è il luogo dei punti P del piano per i quali è costante il rapporto tra PF e PH.
F è detto fuoco, d è detta direttrice e il rapporto e = PF ⁄ PH è chiamato eccentricità; essendo un rapporto tra grandezze geometriche, l'eccentricità è un valore non negativo.
PF = PH · e
Nel caso in cui e > 1 la conica è una iperbole.
Figura 2
Fissiamo a (semiasse maggiore) e c (semidistanza focale) con 0 < a < c, e poniamo:
F = (c, 0) il fuoco positivo dell'iperbole
d: x = a² ⁄ c
e = c ⁄ a > 1
Cerchiamo tutti e soli i punti P = (x, y) che verificano la definizione della conica. Sia H il punto di coordinate (a²/c, y) la proiezione di P su d (vedi figura 2), allora:
PF = √(x − c)² + y²
PH = | x − a² ⁄ c |
Quindi:
PF = PH · e
√(x − c)² + y² = | x − a² ⁄ c | · (c ⁄ a)
a · √(x − c)² + y² = | cx − a² |
a² · (x² − 2cx + c² + y²) = c²x² − 2a²cx + a4
a²x² + a²c² + a² y² = c²x² + a4
(a² − c²)x² + a²y² = a²(a² − c²)
Osserviamo che i passaggi precedenti sono equivalenti per ogni conica, in quanto l'unica differenza è che c è maggiore di a, oltre al valore di e, non ancora utilizzato.
Per comodità cambiamo i segni dentro le parentesi (così che dentro sia positivo):
−(c² − a²)x² + a²y² = −a²(c² − a²)
Poniamo quindi:
b² = c² − a²
Successivamente dividiamo per −a²b² e riottiamo la forma:
x²
a²
−
y²
b²
= 1
Ci siamo ora ricollegati ai passaggi precedenti, quindi le due definizioni sono equivalenti.
♦ L'iperbole, come abbiamo visto, possiede due fuochi; la loro distanza è chiamata asse focale e vale 2c, indipendentemente da dove si trovano i fuochi.
♦ L'iperbole possiede due assi di simmetria:
l'asse trasverso è quello su cui si trovano i fuochi;
l'asse non trasverso è quello su cui non si trovano i fuochi.
♦ L'iperbole, in base alle definizioni, possiede due fuochi, e quindi possiade anche due rette direttrici, perpendicolari all'asse focale; nel nostro caso, in un'iperbole con centro nell'origine e fuochi sull'asse x, essi valgono:
Fuochi
F₁ = (−c, 0) e F₂ = (c, 0)
Direttrici
d₁: x = −a² ⁄ c e d₂: x = a² ⁄ c
e la coppia fuoco-direttrice può esser utilizzata per generare l'iperbole.
♦ Esistono sempre 2 punti di intersezioni tra l'iperbole e l'asse x: tali punti sono detti vertici reali dell'iperbole e hanno la proprietà di essere i punti dell'iperbole più vicini ai fuochi e alle direttrici; essi hanno coordinate:
Vertici reali
A₁ = (−a, 0) e A₂ = (a, 0);
♦ L'iperbole non ha punti d'intersezione con l'asse y, tuttavia altri due punti che non fanno parte dell'iperbole sono chiamati vertici non reali (vedi figura 3); essi hanno coordinate:
Vertici non reali
B₁ = (0, −b) e B₂ = (0, b)
Figura 3
Inoltre:
l'asse trasverso unisce i vertici reali A₁ e A₂;
l'asse non trasverso unisce i vertici non reali B₁ e B₂.
e indipendentemente da dove si trovano i fuochi:
l'asse che si trova sull'asse x misura 2a;
l'asse che si trova sull'asse y misura 2b.
♦ Tra i coefficienti a, b, c di un'iperbole sono numeri reali positivi; inoltre tra di essi vale sempre la relazione:
c² = a² + b²
♦ L'iperbole ha una proprietà che la distingue dalle altre coniche: possiede due asintoti, ovvero esistono due rette che si avvicinano indefinitivamente alla curva, senza mai toccarla (vedi figura 3).
Tali asintoti sono due rette passanti per l'origine, di equazione:
y = ±
b
a
x
♦ L'eccentricità (e) di un'iperbole è data dal rapporto:
asse focale ∶ asse trasverso
nel nostro caso, in un'iperbole con centro nell'origine e fuochi sull'asse x, l'eccentricità vale:
e = c ⁄ a
e il suo valore è sempre maggiore di 1.
Esempio 1. Determiniamo le caratteristiche dell'iperbole di equazione:
x² − 3y² − 12 = 0
per ottenere la forma canonica, portiamo il −12 a destra dell'uguale, cambiando il segno, e dividiamo tutto per 12. Otteniamo l'equazione:
x²
12
−
y²
4
= 1
Da questa equazione possiamo capire che i fuochi si trovano sull'asse x (poichè nella forma canonica abbiamo ottenuto 1 a destra dell'uguale) e quindi i vertici sull'asse x sono quelli reali, mentre quelli sull'asse y sono quelli non reali.
Inoltre:
a² = 12
b² = 4
da cui otteniamo che:
c² = a² + b² = 12 + 4 = 16
e quindi:
a = √12 = 2√3
b = 2
c = 4
Possiamo adesso scrivere le coordinate dei quattro vertici:
