Le omotetie sono trasformazioni del piano che ingrandiscono e rimpiccioliscono una figura, conservandone la forma e l'orientamento.
Più formalmente:
Una omotetia di centro F e rapporto σ è una trasformazione non invertente che associa ad ogni punto P del piano un nuovo punto P', allineato con FP e tale che:
FP' = σ · FP.
Il rapporto σ può esser anche negativo, ma non nullo: infatti se fosse nullo, tutti i punti del piano andrebbero a finire nel centro F, e si perderebbero tutte le forme e gli orientamenti.
I segmenti FP e FP' sono segmenti orientati, per cui un valore di σ positivo vuol dire che hanno lo stesso verso, σ negativo che hanno verso opposto; in particolare:
se σ > 1 si ha un ingrandimento;
se σ = 1 si ha l'identità;
se 0 < σ < 1 si ha un rimpicciolimento;
se −1 < σ < 0 si ha una simmetria centrale con un rimpicciolimento;
se σ = −1 si ha una simmetria centrale;
se σ < −1 si ha una simmetria centrale con un ingrandimento.
Il rapporto di omotetia σ corrisponde al rapporto numerico tra lati corrispondenti. Per quanto riguarda aree di superfici corrispondenti, esse avranno rapporto σ²; analogamente volumi corrispondenti avranno rapporto σ³.
In conlusione: il modulo di σ ci dà informazioni sull'ingrandimento, il segno ci à informazioni sulla posizione rispetto al centro.
Le equazioni di trasformazione per l'omotetia sono quindi una generalizzazione di quelle per la simmetria centrale: se F = (xₒ; yₒ) è il centro e σ ≠ 0 è si ottiene il sistema:
x' = σ (x − xₒ) + xₒ
y' = σ (y − yₒ) + yₒ
Esempio 4.Consideriamo l'omotetia di centro F = (1, 0) e rapporto σ = 3, vediamone un'applicazione.
Svolgimento. Per prima cosa inseriamo i dati numerici nelle formule dell'omotetia, ottenendo il sistema:
⎧ x' = 3(x − 1) + 1
⎨
⎩ y' = 3(y − 0) + 0
Da cui:
⎧ x' = 3x − 2
⎨
⎩ y' = 3y
Figura 4
Applichiamo queste equazioni ai punti del triangolo verde in figuara 4.
L'effetto finale, come si vede dalla figura, è stato un ingrandimento e uno spostamento verso l'alto, nel triangolo azzurro, avente la stessa forma ma dimensioni maggiori.
Ad esempio il semento FB = 1 si è trasformato nel segmento FB' = 3; ogni lato del triangolo verde corrisponde ad un lato 3 volte maggiore nel triangolo azzurro; inoltre l'area del triangolo azzurro è 9 volte l'area del triangolo verde.
Esempio 5.Studiamo l'omotetia di centro F = (1, 0) e rapporto σ = −1.5.
Svolgimento. Usando le formule dell'omotetia con i dati numerici del testo, ottenendo il sistema:
⎧ x' = −1.5(x − 1) + 1
⎨
⎩ y' = −1.5(y − 0) + 0
Da cui:
⎧ x' = −1.5 x − 0.5
⎨
⎩ y' = −1.5y
Figura 5
Applichiamo queste equazioni ai punti del triangolo verde in figuara 5.
L'effetto che si ottiene, come si vede dalla figura 5, è stato un leggero ingrandimento e una simmetria rispetto al centro F.
Ad esempio il semento FB = 1 si è trasformato nel segmento FB' = 1.5, e i due segmenti hanno versi opposti.
Una similitudine è una qualunque trasformazione che conservi la forma delle figure. Più formalmente:
Una similitudine di rapporto k > 0 è una trasformazione che associa ad ogni coppia di punti P e Q del piano una nuova coppia di punti P' e Q', tali che P'Q' = k · PQ.
Se P = (x, y) e P' = (x', y') sono punti generici, allora la legge di trasformazione è:
x' = ax − by + c
y' = bx + ay + d
(non invertente)
x' = ax + by + c
y' = bx − ay + d
(invertente)
Essendo a, b, c, e d numeri reali, con a² + b² = k².
Una similitudine conserva quindi i rapporti tra le misure dei segmenti, l'ampiezza degli angoli, il parallelismo o la perpendicolarità delle rette.
Le isometrie e le omotetie sono dei casi particolari di similitudini: le isometrie sono similitudini di rapporto k = 1, mentre le omotetie sono similitudini con punti allineati con un punto particolare (il centro).
Di conseguenza una similitudine può esser vista come la composizione di una omotetia e di una isometria.
Infatti consideriamo ad esempio la roto-traslazione di equazioni:
x' = x cos (ω) − y sen (ω) + α
y' = x sen (ω) + y cos (ω) + β
e quindi l'omotetia:
x" = σ (x' − xₒ) + xₒ
y" = σ (y' − yₒ) + yₒ
la composizione delle due trasformazioni avrà equazione:
x" = σ [ x cos (ω) − y sen (ω) + α − xₒ] + xₒ
y" = σ [ x sen (ω) + y cos (ω) + β − yₒ] + yₒ;
che diventa l'equazione canonica di una similitudine non invertente, rinominando le costanti:
a = σ cos (ω)
b = σ sen (ω)
c = σ(α − xₒ) + xₒ
d = σ(β − yₒ) + yₒ
e il rapporto di omotetia coincide in modulo con quello di similitudine, infatti si può facilmente verificare che k² = a² + b² = σ².
