♦ L'ellisse è una curva chiusa, un punto P = (x, y) deve rispettare le seguenti limitazioni:
x² ≤ a²; y² ≤ b²
È inoltre dotata di due assi si simmetria. Nel nostro caso gli assi coincidono con gli assi cartesiani; di consegueza se un punto (α, β) appartiene all'ellisse, allora anche i punti (−α, β), (−α, −β), (α, −β) appartengono all'ellisse.
♦ Un'ellisse di equazione:
x² ⁄ a² + y² ⁄ b² = 1
e una retta generica y = mx + q possono avere al più 2 punti d'intersezione, in particolare tante quante le soluzioni dell'equazione:
b²x² + a²(mx + q)² = a²b²
che si ottiene mettendo a sistema le equazioni dell'ellisse e della retta; di conseguenza:
se l'equazione ammette due soluzioni distinte (Δ > 0) la retta è secante all'ellisse;
se l'equazione ammette due soluzioni coincidenti (Δ = 0) la retta è tangente all'ellisse;
se l'equazione non ammette due soluzioni reali (Δ < 0) la retta è esterna all'ellisse.
♦ Viceversa se una retta è tangente all'ellisse in un suo punto (x0, y0), allora per determinare l'equazione della retta si può utilizzare la formula di sdoppiamento:
♦ Dal teorema di Eulero sulla distanza minima tra 2 punti, discende un interessante risultato: sia P un punto dell'ellisse, consideriamo i segmenti PF1 e PF2, prolungandoli oltre P; allora una delle due bisettrici degli angoli in P è tangente all'ellisse in P (vedi figura 4).
In altri termini:
La tangente ad un'ellisse in un suo punto P (e la normale in quel punto)
forma con i segmenti congiungenti P con i fuochi coppie di angoli congruenti.
♦ Questo risultato porta con sé un'importante proprietà ottica dell'ellisse: ogni raggio uscente da uno dei due fuochi viene riflesso dall'ellisse in direzione dell'altro fuoco.
Infatti sia il piano di riflessione sia l'asse di riflessione sono bisettrici degli angoli, di conseguenza gli i due segmenti sono simmetrici rispetto all'asse di riflessione.
Condizioni per determinare l'equazione di un'ellisse
L'equazione di un'ellisse può esser determinata partendo da alcune sue proprietà; osserviamo che, nel caso in cui il centro dell'ellisse sia l'origine, conoscere un fuoco equivale a conoscerli entrambi, per ragioni di simmetria; stesso ragionamento per le direttrici e i vertici sullo stesso asse.
Normalmente, qualora non si voglia determinare l'equazione di un'ellisse partendo da alcune sue proprietà, si parte dall'equazione canonica.
x²
a²
+
y²
b²
= 1
Ecco alcuni esempi di condizioni per determinare l'equazione di un'ellisse, da combinare tra loro per formare un sistema con tre equazioni, in cui la prima condizione è quella fondamentale:
condizione fondamentale: tra i coefficienti a, b, c dell'ellisse vale sempre la relazione:
a² = b² + c² se l'asse focale è parallelo all'asse x;
b² = a² + c² se l'asse focale è parallelo all'asse y;
si conosce un punto appartenente all'ellisse: si applica la condizione di appartenenza, sostituendo le coordinate del punto nell'equazione canonica;
si conoscono le coordinate di un fuoco: uguagliamo la formula per la coordinata non nulla del fuoco al valore noto;
si conosce l'equazione della direttrice: uguagliamo la formula per la direttrice al valore dell'equazione;
si conoscono le coordinate di un vertice: uguagliamo la formula per la coordinata non nulla del vertice al valore noto;
si conosce una retta tangente: si pone la condizione di tangenza: in un sistema a parte, si confrontando l'equazione della retta e l'equazione canonica dell'ellisse, e nell'equazione risultante si studia il delta, ponendolo uguale a zero;
si conosce la retta a cui appartiene il vertice: si interseca la retta con l'asse di simmetria (maggiore o minore) per determinare il vertice, poi si applica la formula del vertice.
Esempio 2.Determiniamo l'equazione dell'ellisse con centro nell'origine, avente un fuoco di coordinate F (4; 0) e passante per il punto A (4; 9/5).
Svolgimento. Il nostro obiettivo è trovare il valore dei coefficienti a e b presenti nell'equazione canonica:
x²
a²
+
y²
b²
= 1
Prima condizione: dal momento che il testo ci fornisce un fuoco, e che esso si trova sull'asse x, allora vuol dire che siamo nel caso in cui l'asse focale è parallelo all'asse x, quindi possiamo usale la condizione:
a² = b² + c²
Utilizzando i dati, determiniamo le altre due condizioni:
Seconda condizione: formula del fuoco: uguagliamo la formula per la x del fuoco al valore noto non nullo.
c = 4
Terza condizione: appartenenza del punto A all'ellisse: sostituiamo le coordinate del punto A nell'equazione canonica.
(4)²
a²
+
(9/5)²
b²
= 1
16
a²
+
(81/25)
b²
= 1
Moltiplichiamo tutto per 25a²b².
400b² + 81a² = 25a²b²
A questo punto costruiamo il sistema con le tre equazioni trovate.
⎧ a² = b² + c²
⎨ c = 4
⎩ 400b² + 81a² = 25a²b²
Per risolvere questo sistema, conviene partire dalla seconda equazione e sostituirla nella prima, ottenendo:
a² = b² + 16
A questo punto sostituiamo questa equazione nella terza:
400b² + 81(b² + 16) = 25(b² + 16)b²
È un'equazione biquadratica: possiamo porre per comodità b² = t.
400t + 81(t + 16) = 25(t + 16)t
400t + 81t + 1296 = 25t² + 400t
25t² − 81t − 1296 = 0
Risolviamo l'equazione con la formula risolutiva, ottenendo le due soluzioni:
t₁ = 9
t₂ = −288/25
Osserviamo che la seconda soluzione non è accettabile, poichè b² non può esser negativo. La prima soluzione invece ci porta a:
b² = 9
Ora è sufficiente risostituire il valore trovato per determinare a²:
a² = b² + 16
a² = 9 + 16
a² = 25
Abbiamo risolto il sistema e trovato i due coefficienti da inserire nell'equazione.
