La retta è una figura geometrica fondamentale (vedi la retta in geometria). Nel piano cartesiano una retta è identificata da un'equazione di primo grado in x e y; la forma più generale di questa equazione è:
ax + by + c = 0
dove a, b, c sono coefficienti a valori reali. Tale forma è chiamata forma implicita per la retta.
L'insieme dei punti di una retta è dato dall'insieme di tutti e soli i punti P di coordinate (x0, y0) che verificano l'equazione della retta:
ax0 + by0 + c = 0
Di conseguenza questa regola è un buon test per vedere se un punto appartiene ad una retta, o se viceversa una retta passa per un determinato punto.
Condizione di appartenenza
Un punto appartiene ad una retta, se le sue coordinate sono soluzioni dell'equazione della retta.
Esempio 4.Verifichiamo se il punto A (2; 3) appartiene alle rette di equazione: x − y + 1 = 0, ed x + y + 5 = 0.
Svolgimento. Applichiamo la condizione di appartenenza, sostituendo le coordinate di A nelle due equazioni, una alla volta, e controlliamo se risultano vere:
(2) − (3) + 1 = 0 è vera;
(2) + (3) + 5 = 0 è falsa.
Conclusione: il punto A appartiene alla retta x − y + 1 = 0, ma non alla retta x + y + 5 = 0.
La condizione di appartenenza è molto utile anche al contrario: per rappresentare graficamente una retta sul piano cartesiano basta trovare (almeno) due punti che appartengono ad essa.
Esempio 5.Disegniamo sul piano cartesiano la retta x − y + 1 = 0.
Svolgimento. Assegniamo alcuni valori arbitrari alla x all'interno dell'equazione e calcoliamo quando devono valere le corrispondenti y.
Se x = 0 → (0) − y + 1 = 0 → y = 1
Se x = 2 → (2) − y + 1 = 0 → y = 3
Se x = 3 → (3) − y + 1 = 0 → y = 4
Figura 2
Di conseguenza tale retta passa per i punti: A (0; 1), B (2; 3) e C (3; 4) che sono tutti allineati; fissiamo questi punti sul piano e disegnamo la retta che passa per questi punti.
Conclusione: poiché i punti sono allineati, la retta disegnata rappresenta graficamente l'equazione iniziale, come disegnato in figura 2.
Osservazione: per disegnare una retta è sufficiente trovare due punti; tuttavia è utile trovarne di più, per verificare che siano allineati, evitando o correggendo eventuali errori di calcolo.
Ecco le equazioni di alcune rette particolari che è bene conoscere; per verificarle è sufficiente sostituire le coordinate di alcuni punti.
asse x: la retta che coincide con l'asse x ha equazione y = 0;
asse y: la retta che coincide con l'asse y ha equazione x = 0;
rette orizzontali: ogni retta parrallela all'asse x ha equazione y = k, con k coefficiente reale
esempi: y = +1, y = −4
rette verticali: ogni retta parrallela all'asse y ha equazione x = j, con j coefficiente reale
esempi: x = +3, x = −10;
rette passanti per l'origine: ogni retta passante per l'origine ha il coefficiente c nullo, quindi è della forma ax + by = 0
esempio: 2x + 3y = 0.
Ricordiamo che l'equazione generale introdotta prima è chiamata forma implicita.
Se abbiamo una retta con il coefficiente b ≠ 0, possiamo esplicitare la variabile y, ottenendo:
y = −
a
b
x −
c
b
il termine −(a ⁄ b) lo indichiamo con la lettera m, ed è chiamato coefficiente angolare della retta: ci indica l'inclinazione della retta; il termine noto −(c ⁄ b), indicato con la lettera q, spesso è chiamato quota e identifica l'altezza della retta, ossia l'ordinata del punto d'intersezione con l'asse y.
Otteniamo così l'equazione:
y = mx + q
detta forma esplicita della retta.
Osserviamo che:
nella forma esplicita è molto più facile trovare i punti di una retta: basta dare un qualunque valore alla x e calcolarsi il valore della y, senza risolvere un'equazione;
non possiamo rappresentare tutte le rette in forma esplicita: quelle verticali hanno b = 0, (la variabile y non compare) quindi non possono esser rappresentate in forma esplicita.
Esempio 6.Scriviamo in forma esplicita la retta di equazione: 3x − y + 4 = 0, e poi rappresentiamola sul piano cartesiano.
Svolgimento. Per farla diventare in forma esplicita, spostiamo i termini in modo opportuno: − y = − 3x − 4
Cambiando i segni otteniamo:
y = 3x + 4
Per rappresentare questa equazione dobbiamo trovare alcuni punti: assegnamo dei valori alla x all'interno dell'equazione in forma esplicita e calcoliamo le corrispondenti y.
Se x = −1 → y = − 3·(−1) + 4 → y = 1
Se x = 0 → y = − 3·(0) + 4 → y = 4
Se x = 1 → y = − 3·(1) + 4 → y = 7
Se x = 2 → y = − 3·(2) + 4 → y = 10
Figura 3
I punti trovati sono tutti allineati, lungo la direzione della nostra retta.
Dalla forma esplicita inoltre ricaviamo che il coefficiente angolare (m) è 3: le y aumentano di tre unità alla volta rispetto alle x.
La quota (q) è 4, infatti la retta interseca l'asse y nel punto (0, 4).
In figura 3 è disegnata la retta passante per i punti trovati.
Il coefficiente angolare di una retta si può determinare anche senza conoscere l'equazione, ma partendo dalle coordinate di due punti della retta è sufficiente calcolare il rapporto tra la differenza tra le ordinate e la differenza tra le ascisse dei due punti:
Coefficiente angolare per due punti A e B
m =
Δ y
Δ x
=
yB − yA
xB − xA
con xB ≠ xA
Dove ricordiamo che il simbolo Δ (Delta, la d greca in maiuscolo) viene usato in matematica e in fisica per indicare una variazione, una differenza o un incremento tra due valori di una stessa grandezza.
Il coefficiente angolare è un numero che indica l'inclinazione della retta rispetto l'asse delle x; in particolare:
vale 0 per le rette orizzontali (è quando yB = yA)
non si può calcolare per le rette verticali (infatti xB ≠ xA)
è positivo se la retta “cresce”, percorrendola da sinistra a destra
è negativo se la retta “decresce”, percorrendola da sinistra a destra
Inoltre, date due rette con coefficienti angolari m₁ ed m₂, allora tali rette sono:
parallele se i coefficienti angolari sono uguali: m₁ = m₂
incidenti se i coefficienti angolari sono diversi: m₁ ≠ m₂
perpendicolari se i coefficienti angolari sono anti-reciproci: m₁ · m₂ = 0
L'ultima condizione, che riguarda due rette perpendicolari, si può scrivere anche così:
Oltre che in forma esplicita ed implicite, una retta può esser messa anche in forma parametrica.
Tale forma consiste nell'utilizzare un parametro ausiliario (in genere la lettera t) ed esplicitare entrambe le variabili in funzione di tale parametro (ottenendo un sistema di 2 equazioni in 3 incognite):
⎧ x = f (t)
⎨
⎩ y = g (t)
essendo appunto t il parametro ausiliario a valori reali. Tale forma può sembrare meno maneggevole della forma esplicita, ma con essa si può rappresentare ogni retta del piano, ed entrambe le variabili sono esplicitate, quindi facili da calcolare.
Inoltre la forma parametrica, esplicitando entrambe le variabili, mette in evidenza quelle che sono le coordinate dei punti appartenenti alla retta: quindi se P è un punto generico della retta avente come equazione parametrica quella scritta sopra, allora possiamo scrivere P = ( f(t); g(t) ), al variare di t.
Vediamo qualche esempio di rette scritte in forma parametrica:
Esempio 7.Scriviamo in forma parametrica alcune rette particolari.
Retta
Equazione
F. parametrica
asse x
y = 0
⎧ x = t ⎨ ⎩ y = 0
asse y
x = 0
⎧ x = 0 ⎨ ⎩ y = t
retta orizzontale
y = 3
⎧ x = t ⎨ ⎩ y = 3
retta verticale
x = 5
⎧ x = 5 ⎨ ⎩ y = t
bisettrice del I e III quadrante
y = x
⎧ x = t ⎨ ⎩ y = t
bisettrice del II e IV quadrante
y = −x
⎧ x = t ⎨ ⎩ y = −t
retta passante per l'origine
y = 2x
⎧ x = t ⎨ ⎩ y = 2t
Esempio 8.Vediamo ora alcune rette generiche come diventano in forma parametrica.
F. implicita
F. esplicita
F. parametrica
3x − y + 4 = 0
y = 3x + 4
⎧ x = t ⎨ ⎩ y = 3t + 4
y + x − 8 = 0
y = − x + 8
⎧ x = t ⎨ ⎩ y = − t + 8
2x + 6 − 3y = 0
y = 2⁄3 x + 2
⎧ x = 3t ⎨ ⎩ y = 2t + 2
2x + 5y − 4 = 0
y = − 2⁄5 x + 4⁄5
⎧ x = 2 − 5t ⎨ ⎩ y = 2t
Dal confronto tra le tre forme in queste due tabelle, possiamo notare che:
il passaggio dalla forma esplicita a quella parametrica è immediato;
un po' più difficoltoso può essere il passaggio dalla forma implicita a quella parametrica;
il passaggio dalla forma parametrica ad una delle altre forme consiste nell'applicare una sostituzione, come in un normale sistema.
Osservazione: ricordiamo che l'equazione di una retta, in ogni sua forma, non è unica: possiamo ottenere la stessa retta partendo da equazioni differenti, in ognuna delle tre forme.
