Lo studio dei fasci di rette serve ad analizzare in modo più generale le proprietà delle rette viste finora.
Un fascio di rette è un insieme di rette del piano aventi tutte una stessa proprietà.
Un fascio di rette è individuato da un'equazione parametrica (attenzione: non un'equazione in forma parametrica, ma una normale equazione con uno o più parametri); ad ogni valore del parametro (o dei parametri) corrisponde una determinata retta del fascio.
In pratica ogni volta che ci troviamo un'equazione in cui, oltre la x e la y, compaiono altre lettere, allora abbiamo davanti un fascio; se l'equazione è di primo grado in x e in y, si tratta di un fascio di rette.
Per semplicità consideriamo solo fasci aventi un solo parametro, indicato con la lettera k; ma ovviamente possono esser presenti anche altre lettere.
L'equazione implicita di un fascio ℱ con parametro k è del tipo:
ℱ(k) : a(k) x + b(k) y + c(k) = 0
Le parentesi non sono moltiplicazioni, ma indicano che i coefficienti a, b, c possono esser delle espressioni in funzione del parametro k, ad esempio:
(2k − 3)x + (k² + k − 2)y + 7 + k = 0
dove possiamo associare:
a(k) = 2k − 3
b(k) = k² + k − 2
c(k) = 7 + k
Analogamente in forma esplicita possiamo scrivere:
ℱ(k) : y = m(k) x + q(k)
dove anche qui i coefficienti m e q possono esser delle espressioni in funzione del parametro k.
Le proprietà che accomunano le rette dello stesso fascio possono esser diverse; tuttavia se i parametri sono di primo grado, il fascio di rette può essere solo di due tipi: improprio o proprio.
Approfondiamo lo studio di questi due tipi di fasci, partendo dal tipo di proprietà che accomuna le rette ad essi appartenenti.
Il tipo di fascio più semplice da studiare è quello improprio.
Un fascio di rette improprio è un insieme di rette aventi tutte la stessa direzione.
Un fascio improprio contiene quindi tutte rette parallele tra loro; dal punto di vista algebrico contiene quindi di tutte le rette aventi lo stesso coefficiente angolare; di conseguenza se scriviamo l'equazione del fascio in forma esplicita, risulta che il coefficiente angolare del facio è costante, non dipende dal parametro.
Tra tutte queste rette, quella passante per l'origine è chiamata generatrice del fascio e si ottiene ponento q = 0.
Esempio 11.Studiamo il fascio di equazione:
2x − y + k − 5 = 0
Svolgimento. Questo è un fascio improprio, per verificarlo è sufficiente assegnare alcuni valori a k, e vedere che i coefficienti angolari restano sempre uguali.
Possiamo scrivere infatti il fascio in forma esplicita:
y = 2x + k − 5
e vedere che il coefficiente angolare vale 2, ed è quindi un valore costante, che non dipende dal parametro k.
In particolare, questo fascio è formato da tutte le rette parallele alla retta generatrice:
y = 2x
che si ottiene quando k = 5.
Figura 4
Nella figura 4 abbiamo rappresentato alcune rette del fascio: la generatrice (di colore verde) che corrisponde appunto a quanto k = 5, e le rette (di colore nero) che si ottengono assegnando altri valori a k; ogni retta quindi corrisponde ad un determinato valore di k, come si vede in figura.
Conclusione: questo fascio è improprio e rappresenta tutte le rette parallele alla retta:
y = 2x
Osservazione: dalla figura 4 si può notare che i valori di k sono ordinati in modo decrescente da sinistra a destra: più ci spostiamo verso destra, più i valori di k diminuiscono.
In generale la variazione dei valori di k non è casuale: segue sempre un criterio di crescita o decrescita seguendo le rette parallele; è sufficiente disegnare due o tre rette del fascio con i rispettivi valori di k, per capire qual è l'andamento del parametro.
L'altro tipo di fascio più comune è quello proprio.
Un fascio di rette proprio è composto da tutte le rette passanti per un determinato punto.
Tale punto è detto centro del fascio ed è quindi un punto in comune tra tutte le rette del fascio; questo comporta di conseguenza che le rette del fascio al variare del parametro hanno direzioni differenti tra loro e, se scriviamo l'equazione del fascio in forma esplicita, risulta che il coefficiente angolare dipende dal parametro.
Un fascio proprio possiede due rette generatrici: le equazioni di tali rette possono esser ottenute dall'equazione del fascio, separando i termini contenenti il parametro da quelli che non lo possiedono; le due generatrici sono incidenti nel centro e tutte le rette del fascio passano per il centro individuato dalla loro intersezione.
Ogni retta del fascio corrisponde ad un valore di k; in particolare per quanto riguarda le due generatrici:
la generatrice ottenuta dai termini senza k corrisponde a k = 0
la generatrice ottenuta dai termini con k corrisponde a k → ∞
Cerchiamo di chiarire con un esempio.
Esempio 12.Studiamo il fascio di equazione:
(k + 2)x + (2k − 1)y − 5k = 0
Svolgimento. Eseguiamo i calcoli e raggruppiamo i termini con il k:
kx + 2x + 2ky − y − 5k = 0
k(x + 2y − 5) + (2x − y) = 0
le due espressioni tra parentesi ci forniscono le due rette generatrici:
1ª generatrice: x + 2y − 5 = 0
2ª generatrice: 2x − y = 0
Sono due rette incidenti; risolvendo il sistema tra queste due equazioni otteniamo la soluzione:
x = 1 ∧ y = 2
Figura 5
Di conseguenza le due rette si intersecano nel punto C di coordinate (1; 2), che non potrà esser altri che il centro del fascio.
Nella figura 5 abbiamo rappresentato alcune rette del fascio, ognuna con il suo corrispondente valore di k, indicando di colore particolare le due generatrici.
La prima generatrioce corrisponde a k → ∞ mentre la seconda a k = 0; ogni altro valore assegnato a k ci fornisce l'equazione di una qualunque altra retta passante per il punto C.
Conclusione: questo fascio è proprio e rappresenta tutte le rette passanti per il punto C = (1; 2).
Osservazione: in generale, anche nei fasci propri la variazione dei valori di k non è casuale: tuttavia è leggermente più complessa, rispetto ai fasci impropri; nei fasci proprio la variazione è semicircolare: dopo mezzo giro intorno al centro, ritorniamo sulla retta iniziale (dalla parte opposta), quindi allo stesso valore iniziale di k; le due generatrici dividono il piano in quattro zone: tali zone alternano rette con k positivo e rette con k negativo, che però variano sempre in modo ordinato, come si può vedere nell'esempio precedente.
