Introduzione

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D

DECAGONO (GE) - figura geometrica piana delimitata da una spezzata chiusa e non intrecciata di 10 lati: è un POLIGONO che possiede 10 lati, 10 angoli, 35 diagonali. Per approfondire vedi le pagine sui poligoni.

DEFINIZIONE (AL, GE, GA, AM) - Indicazione precisa e chiara di un concetto matematico, con la descrizione delle sue caratteristiche essenziali, partendo da altri concetti, come ad esempio concetti primitivi; Ad esempio: « un numero intero è detto pari se è divisibile per 2 ».
Una D. non deve esser dimostrata o verificata, in quanto siamo noi a stabilire le caratteristiche dell'oggetto in questione, tuttavia si può controllare se una D. è pertinente e se effettivamente ha senso: ad esempio la seguente D. (assolutamente inventata): « un numero intero è detto "x-divisibile" se è divisibile per 6 ma non per 3 » non avrebbe senso in quanto, nonostante sia logicamente corretta, tuttavia nessun numero verifica tale proprietà.

DENOMINATORE (AR, AL) - Termine o espressione che compone una FRAZIONE, posto al di sotto del segno di frazione.

DERIVATA di una funzione (AM) - funzione ottenuta dal LIMITE del RAPPORTO INCREMENTALE della funzione di partenza, per intervalli infinitesimi; la caratteristica principale della funzione D. è quella di fornire il coefficiente angolare della tangente alla funzione di partenza, in ogni suo punto.
In parole povere, la D. ci fornisce indicazioni sulla pendenza della curva, che rappresenta la funzione. Per approfondire, visita la pagina del sito dedicata alle derivate.

DETERMINANTE di un'equazione (AL) - vedi: DISCRIMINANTE.

DETERMINANTE di una matrice (AL) - valore numerico associato ad una MATRICE quadrata, che si calcola con un procedimento ricorsivo; il D. di una matrice 2×2 si ottiene dalla differenza dei prodotti tra i termini delle due diagonali della matrice:

a₁₁ a₂₂ – a₁₂ a₂₁

Il D. di una matrice 3×3 si calcola con la regola di Sarrus:

(a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₁₂ a₂₃ a₃₁ + a₁₃ a₂₁ a₃₂) – (a₁₃ a₂₂ a₃₁ + a₁₁ a₂₃ a₃₂ + a₁₂ a₂₁ a₃₃)

DIAMETRO di una circonferenza (GE) - la CORDA di lunghezza massima; una circonferenza possiede infiniti D., tutti passanti per il centro della circonferenza.

DIAGONALE di una poligono (GE) - Segmento che unisce due vertici non consecutivi di tale poligono; se il poligono possiede un certo numero n di lati, il numero delle sue diagonali è: n(n - 3) / 2.

DIFFERENZA tra insiemi (IN, GE) - operazione binaria tra INSIEMI

• D. semplice - insieme formato dagli elementi del primo insieme che non appartengono al secondo;
• D. simmetrica . insieme formato dagli elementi non comuni tra i due insiemi.

DIFFERENZA tra numeri (AR, GE) - Risultato dell'operazione di SOTTRAZIONE tra due numeri.

DIFFERENZIALE di una funzione (AM) - prodotto tra la DERIVATA della funzione e la variazione infinitesima della variabile indipendente; in una funzione f(x) il D. si indica con df(x) e corrisponde a f ' (x) · dx.
Ad esempio se f(x) = 3x² + 5x, il D. vale: df(x) = (6x + 5)dx.
Il D. corrisponde geometricamente all'incremento infinitesimo della retta tangente alla funzione, quindi nel punto di tangenza è molto simile all'incremento infinitesimo della funzione stessa, ma in genere molto più facile da studiare. Il D. compare nello studio degli integrali, delle equazioni differenziali, e nei problemi di fisica matematica.

DIMOSTRAZIONE (AL, GE) - Procedimento matematico costituito da un ragionamento ipotedico-deduttivo, per mezzo del quale, provare la validità di un TEOREMA (o più in generale di una PROPOSIZIONE): partendo da una affermazione assunte vera (l'Ipotesi della proposizione) si arriva tramite serie di deduzioni logiche collegate alla prima affermazione, a provare una nuova affermazione (la Tesi della proposizione), di cui inizialmente non si conosceva la validità.
Le dimostrazioni posso seguire diversi tipi di ragionamento; i più comuni sono:

• D. diretta - segue il principio Aristotelico del Modus Ponens: si suppone vera l'ipotesi e si cercano proposizioni altrettanto vere che permettano di dedurre in modo intuitivo la validità della tesi.
• D. per assurdo - segue il principio Aristotelico del Modus Tollens: si suppone falsa la tesi e si cercano proposizioni vere che permettano di dedurre in modo intuitivo che in tal caso neanche l'ipotesi può esser vera; per esclusione di deduce che poichè l'ipotesi non può esser falsa, allora anche la tesi dovrà esser vera.
• D. per induzione - segue il principio di induzione formalizzato da Peano, e valido per ogni proposizione riguardante i numeri naturali. Per approfondire il principio di induzione visita la pagina del sito nella sezione di Algebra dedicata agli assiomi di Peano.

DIRETTRICE di una conica (GA) - Retta del piano che, insieme ad un punto chiamato fuoco, carattarizza e definisce una determinata CONICA.
Per approfondire il ruolo di D. e fuoco di una conica, visita la pagina del sito nella sezione di Geometria Analitica dedicata alle coniche.

DISCONTINUITÀ di una funzione (AM) - PUNTO in cui la funzione non è continua. Un punto di D. può esser di 3 tipi:

1. di salto - se il limite da sx della funzione verso il punto è diverso dal limite da dx, di una differenza finita;
2. asintotica - se il limite da sx della funzione verso il punto è diverso dal limite da dx, di una differenza infinita, o se uno dei due limiti non esiste;
3. eliminabile - se il limite da sx della funzione verso il punto è finito e uguale al limite da dx, di una differenza finita, ma la funzione non è definita in tal punto;

DISCRIMINANTE (AL) - in una equazione intera di 2° grado ax² + bx + c = 0, il D. indicato con la lettera greca Δ (delta) corrisponde alla quantità Δ = b² - 4ac, ed indica la natura delle soluzioni dell'equazione:

• se Δ < 0, l'equazione non ha soluzioni reali, ma una coppia di soluzioni complesse coniugate;
• se Δ = 0, l'equazione ha una coppia di soluzioni reali e coincidenti;
• se Δ > 0, l'equazione ha una coppia di soluzioni reali e distinte.

DISEQUAZIONE (AL) - Problema algebrico in cui si confrontano due espressioni letterali (chiamati membri della D.), cercando di determinare per quali valori di una o più lettere (chiamate INCOGNITE), il primo membro ha un valore maggiore (o minore) del secondo; risolvere una D. vuol dire determinare tali valori, e tali valori vengono chiamate SOLUZIONI della D.
Relativamente al tipo di espressioni presenti, una D. si dice:

• D. intera se compaiono solo polinomi.
• D. fratta se compaiono frazioni aventi lettere al denominatore.
• D. irrazionale se compaiono radici aventi lettere nel radicando.
• D. algebrica se compaiono solo le quattro operazioni, le potenze e le radici.
• D. goniometrica se compaiono funzioni goniometriche aventi lettere nell'argomento.
• D. esponenziale se compaiono potenze aventi lettere nell'esponete.
• D. logaritmica se compare la funzione logaritmo avente lettere nell'argomento.

Relativamente al tipo di soluzioni ammissibili, una D. si dice:

• D. determinata se esiste un insieme di valori ammissibili come soluzioni ed esiste un insieme di valori non ammissibile.
• D. indeterminata se ogni valore dell'incognita è ammissibile come soluzione.
• D. impossibile se nessun valore dell'incognita è ammissibile come soluzione.

Per risolvere una D. è possibile applicare due principi di equivalenza, che permettono di trasformare una D. in una equivalente (avente cioè le medesime soluzioni). Tali principi sono:

• Primo principio di equivalenza per le D. ad ogni membro di una D. è possibile addizionare o sottrarre una stessa quantità algebrica.
• Secondo principio di equivalenza per le D. ogni membro di una D. può esser moltiplicato o diviso una stessa quantità algebrica, purchè sia positiva e diversa da zero; nel caso in cui tale quantità sia negativa la D. cambierà il proprio verso (da maggiore a minore o viceversa).

Per approfondire la risoluzione di una D. visita la pagina del sito nella sezione di Algebra dedicata alle disequazioni.

DISTANZA (GE, GA) - In generale in matematica con il termine D. si indica una funzione d definita su uno spazio V

d: V×V → R⁺

che associa ad ogni coppia di punti dello spazio P e Q un numero non negativo d(P, Q), secondo alcune regole:

1. d(P, Q) = 0 se P = Q
2. d(P, Q) > 0 se P ≠ Q
3. d(P, Q) = d(Q, P) ∀ P, Q (proprietà simmetrica)
4. d(P, Q) + d(Q, R) >= d(P, R) ∀ P, Q, R (disuguaglianza triangolare)

In uno spazio Euclideo la D. tra due punti assume il significato comune e si calcola per mezzo del TEOREMA di Pitagora.
Ad esempio nel piano cartesiano la D. tra due punti A e B, che si può indicare con d(A, B) o con AB, si calcola con la seguente formula:

AB = √(x_A – x_B)² + (y_A – y_B)²

DIVERGENZA (funzione) (AM) - funzione definita su un CAMPO VETTORIALE V, e avente valori scalari, tale che in ogni puanto del campo si associa il valore div (V) dato dalla somma algebrica delle derivate parziali delle proprie componenti.
Nel caso di un campo a 3 dimensioni V = (Vx, Vy, Vz), la D. si calcola:
div (V) = dVx/dx + dVy/dy + dVz/dz
Ad esempio se consideriamo il campo V = (2x³ ; x - 4 ; 3x - x²) allora div (V) = (6x²) + (1) + (3 - 2x) = 6x² - 2x + 4.

Osservazione: se volgiamo calcolare la D. in un determinato punto del campo, i valori numerici devono esser sostituiti dopo aver fatto le derivate parziali, altrimenti il risultato è sempre zero...

DIVERGENZA di un limite (AM) - condizione per cui il LIMITE di una funzione o di una successione esiste e vale ± ∞.

DIVIDENDO (AR) - Nell'operazione di DIVISIONE è il numero che si trova a sinistra del segno di divisione, ossia il numero che deve esser diviso.

DIVISIBILITÀ (AL) - Condizione per la quale è possibile svolgere l'operazione di divisione tra due numeri naturali e ottenere come quoziente un numero naturale con resto zero. Per studiare la D. si utilizzano determinati CRITERI di d.

DIVISIONE (AR, AL) - Operazione binaria inversa dell'operazione di MOLTIPLICAZIONE che associa ad una coppia ordinata di numeri x (chiamato dividendo) e y (chiamato divisore) diverso da zero, un numero reale z (chiamato quoziente), e si scrive: x ∶ y = z, tale che y × z = x.

• D. tra numeri interi La D. può esser definita sui numeri naturali, anche se non sempre è possibile ottenere un risultato intero; nel caso si voglia rimanere nell'ambito dei numeri naturali si introduce il resto, come quel numero intero che, addizzionato al prodotto tra quoziente e divisore, permetta di ottenere il dividendo.
• D. tra numeri razionali Se invece è definita sull'insieme dei numeri razionali, la D. è sempre possibile, purchè il divisore sia diverso da zero.

La D. gode della proprietà invariantiva, e della proprietà distributiva rispetto alla somma (vedi PROPRIETÀ).
L'elemento neutro a destra è l'uno: dividendo per uno qualunque numero n, il quoziente corrisponde a numero n iniziale (non vale se uno si trova al dividendo):

n ∶ 1 = n

Tabella della divisione dei primi numeri (in colonna i dividendi, in riga i divisori); per i risultati decimali periodici (ad eccezione dei numeri divisi per 7) è indicato il periodo; i numeri divisi per 7 sono stati semplicemente arrotondati alla seconda cifra decimale:

La D. possiede anche un elemento annullatore sinistro, lo zero: dividendo zero per qualunque numero n ≠ 0, il quoziente corrisponde sempre a zero:

0 ∶ n = 0

Al contrario, come abbiamo detto inizialmente, lo zero non può essere un divisore, in quanto non si può dividere per zero.

DIVISORE (AR, AL) - Nell'operazione di DIVISIONE è il numero che si trova a destra del segno di divisione, ossia il numero che deve dividere il primo numero.

• D. dello zero - Nella teoria degli anelli, un elemento diverso da zero è chiamato D. dello zero se, moltiplicato per un numero diverso da zero, dà comunque come risultato zero.

DODECAGONO (GE) - figura geometrica piana delimitata da una spezzata chiusa e non intrecciata di 12 lati: è un POLIGONO che possiede 12 lati, 12 angoli, 54 diagonali. Per approfondire vedi le pagine sui poligoni.

DOMINIO di integrità (AL, AM) - un ANELLO commutativo e unitario, privo di divisori dello zero; in analisi matematica in particolare si studia il:

• D. di una funzione o campo d'esistenza (AM) - insieme di partenza della funzione, ossia l'insieme di valori che può assumere la variabile indipendente; tale insieme in genere è l'insieme dei numeri reali R o un suo sottoinsieme, a seconda delle CONDIZIONI D'ESISTENZA della funzione.

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