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TANGENTE ad una curva (GE, GA) - RETTA avente un punto in comune con la curva, in cui le due linee vi passano con la stessa direzione, come se vi fossero due punti in comune vicinissimi tra loro; nel caso delle curve coniche, una retta T. ha un solo punto in comune con la conica; inoltre studiando l'intersezione tra una conica e una retta, tale retta è T. se il discriminante dell'equazione che risolve il sistema di intersezione è nullo.
TANGENTE di un angolo (TR) - indicata con tan o tg, funzione trigonometrica che rappresenta il rapporto tra i cateti di un triangolo rettangolo; in modo più formale, considerato un angolo acuto di un triangolo rettangolo, la T. dell'angolo è il rapporto tra il cateto opposto e il cateto adiacente all'angolo.
La T. si può definire anche in maniera analitica, per approfondire visita la pagina del sito dedicata alle funzioni goniometriche.
TEOREMA (AR, AL, GE, TR, AM, LO) - proposizione matematica di grande importanza, che può descrivere proprietà e risultati di vario tipo; un T. è composto da tre parti:
- un'IPOTESI, che indica il punto di partenza del T.; a volte è composto da una affermazione, altre volte solo da un'introduzione;
- una TESI, che ne indica il punto d'arrivo e in genere è la frase principale del T.;
- una DIMOSTRAZIONE, che ne avvalora la validità e spiega come arrivare dall'ipotesi alla tesi, usando ragionamento logico.
La dimostrazione formalizza una serie di ragionamenti, utilizzando la logica aristotelica (modus ponens e modus tollens) per connettere tra loro i diversi passaggi.
L'insieme di Ipotesi e Tesi forma l'enunciato del T.; di seguito gli enunciati alcuni importanti T. (per semplicità molti enunciati sono presentati in modo discorsivo e non rigoroso).
- T. di Algebra:
- T. fondamentale dell'aritmetica - ogni numero naturale maggiore di 1 che non sia un numero primo, si può rappresentare come prodotto di numeri primi e tale rappresentazione è unica.
- T. fondamentale dell'algebra - ogni polinomio di grado n a coefficienti reali ammette esattamente n soluzioni complesse, contate con la loro molteplicità.
- T. del resto - il resto della divisione tra un polinomio P(x) e un binomio (x – a) corrisponde al valore del polinomio P(a).
- T. di Ruffini - se un polinomio P(x) si annulla per x = a, allora tale polinomio è divisibile per il binomio (x – a).
- T. di Geometria:
- T. del triangolo isoscele - un triangolo è isoscele se e solo se gli angoli alla base sono congruenti.
- T. delle rette parallele - due rette sono parallele se e solo se, tagliate da una trasversale, formano coppie di angoli alterni interni congruenti.
- T. delle tangenti - da un punto P esterno ad una circonferenza è possibile disegnare due rette tangenti; i punti di tangenza formano, con il punto P e il centro della circonferenza, due triangoli rettangoli congruenti tra loro.
- T. di Pitagora - in un triangolo rettangolo, la somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti è uguale all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa.
- Primo T. di Euclide - in un triangolo rettangolo, ogni cateto è medio proposizionale tra l'ipotenusa e la proiezione di tale cateto sull'ipotenusa.
- Secondo T. di Euclide - in un triangolo rettangolo, l'altezza è media proposizionale tra le due proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.
- T. di Talete - dato un fascio di rette parallele e due rette trasversali, il fascio individua sulle due trasversali classi di segmenti direttamente proporzionali.
- T. di Trigonometria:
- T. della corda - la lunghezza di una corda corrisponde alla lunghezza del diametro per il seno dell'angolo alla circonferenza che insiste su tale corda.
- T. dei seni - in ogni triangolo è costante il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto.
- T. del coseno o T. di Carnot - in ogni triangolo l'area del quadrato costruito su di un lato è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sugli altri due lati, diminuita del doppio prodotto tra questi ultimi due lati per il coseno dell'angolo tra essi compreso.
- T. di Analisi:
- T. di Weierstrass - ogni funzione continua in un intervallo chiuso e limitato ammette sempre un valore massimo e un valore minimo assoluti.
- T. dei valori intermedi - ogni funzione continua in un intervallo chiuso e limitato assume tutti i valori compresi tra il valore massimo e il minimo.
- T. della permanenza del segno - se una funzione ammette limite finito in un determinato punto, esiste un intorno di quel punto in cui la funzione mantiene lo stesso segno di quel punto.
- T. di Fermat - in una funzione continua e derivabile in un intervallo chiuso e limitato, ogni punto di massimo o minimo interno è un punto stazionario.
- T. di Rolle - in una funzione continua e derivabile in un intervallo chiuso e limitato, se la funzione assume valori uguali agli estremi allora esiste almento un punto stazionario.
- T. di Lagrange - in una funzione continua e derivabile in un intervallo chiuso e limitato, esiste almento un punto in cui la tangente alla funzione è parallela alla retta che passa per gli estremi.
- T. di Cauchy - date due funzioni f e g, continue e derivabili in un intervallo chiuso e limitato, con g' non nulla, allora esiste almeno un punto interno in cui il rapporto tra le derivate è uguale al limite del rapporto tra le funzioni.
- T. di De l'Hôspital - date due funzioni f e g, continue e derivabili in un intervallo chiuso e limitato, con g' non nulla, se il limite del rapporto f ⁄ g ha come forma indeterminata ∞ ⁄ ∞ oppure 0 ⁄ 0, allora esso equivale al limite del rapporto f' ⁄ g'.
- T. fondamentale del calcolo integrale o T. di Torricelli-Barrow
1ª parte: sia F(x) una funzione integrale ottenuta da una funzione f(t); allora la derivata di F(x) in dx รจ proprio f(x).
2ª parte: l'integrale finito di una funzione equivale alla differenza tra i due valori assunti dalla funzione primitiva ai due estremi dell'intervallo considerato.
TEORIA (IN, AL, GE, AM) - Insieme di assiomi, definizioni e teoremi, riguardanti tutti uno specifico aspetto della matematica (e non solo); in genere una T. nasce da osservazioni o ragionamenti, quindi si sviluppa con deduzioni partendo da ipotesi iniziali, fino ad arrivare ad risultati secondo modelli molto articolati.
TERMINE NOTO (AL, GA) - Termine di un POLINOMIO che non contiene variabili, ma solo numeri o lettere costanti; generalizzando, nel caso di equazioni, con T. N. si intende un qualunque termine che non contenga l'incognita (pur potendo contenere altre variabili).
TESI (LO, GE) - affermazione principale all'interno dell'enunciato di un TEOREMA; la T. rappresenta il punto d'arrivo, la conclusione a cui il teorema vuole giungere.
TETRAZIONE (AR, AL) - operazione binaria che associa ad una coppia di numeri naturali a e b, la potenza di base a ed esponente a, iterata per b volte; tale operazione si indica con un esponente alla sinistra della base:
b a = a a a a … [per b volte]
Tabella di alcune tetrazioni dei primi numeri naturali:
| n |
¹ n |
² n |
³ n | ⁴ n |
| 1 |
1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 |
2 | 4 | 16 | 256 |
| 3 |
3 | 27 | 19689 | 7,63 ·10¹² |
| 4 |
4 | 256 | 4,29 ·10⁹ | 3,40 ·10³⁸ |
| 5 |
5 | 3125 | 2,98 ·10¹⁷ | 2,35·10⁸⁷ |
I risultati come si può osservare crescono in modo più che esponenziale; tale operazione non gode di alcuna proprietà tradizionale; possiede un elemento neutro a sinistra, uno: tetrando alla uno qualunque numero x, il risultato corrisponde a numero x iniziale:
¹ x = x
TRAPEZIO (GE) - figura geometrica piana definita come quadrilatero avente una coppia di lati opposti paralleli; tali lati paralleli sono chiamati basi del T; un qualunque segmento che congiunge le basi ed è rispetto a loro perpendicolare, corrisponde all'altezza del T.; un T. può esser:
- T. isoscele se i lati non paralleli sono congruenti;
- T. rettangolo se uno dei due lati non paralleli è perpendicolare alle basi.
L'area di un T. corrisponde al semiprodotto tra la somme delle basi per l'altezza. I PARALLELOGRAMMI possono esser considerati casi particolari di T. aventi entrambe le coppie di lati opposti paralleli (N.B. tale affermazione non è condivisa da tutti, e c'è chi considera T. e parallelogrammi dei quadrilateri differenti).
TRASFORMAZIONE del piano (GE, GA, AM) - Corrispondenza tra i punti dello spazio (o di una sua parte); può esser vista come una ridistribuzione dei punti, con un criterio preciso, in genere definito da proprietà geometriche. Per approfondire visita la pagina del sito dedicata alle trasformazioni nel piano.
TRASLAZIONE (GE, GA, AM) - trasformazione geometrica della famiglia delle AFFINITÀ (in particolare delle isometrie) che conserva inalterate la forma e la dimensione delle figure, le distanze, ma cambia la posizione rispetto al sistema di riferimento; più precisamente, una T. di un vettore v è un'isometria non invertente, che trasforma un generico punto P del piano nel punto P' = P + v. Per approfondire, visita la pagina del sito dedicata alle traslazioni.
TRIANGOLO (GE, TR) - figura geometrica piana delimitata da una spezzata chiusa e non intrecciata di 3 lati: è un POLIGONO che possiede 3 lati, 3 angoli, e nessuna diagonale. Un T. può esser:
- scaleno - se tutti i suoi lati sono diversi tra loro;
- isoscele - se possiede almeno 2 lati congruenti;
- equilatero - se possiede tutti i 3 lati congruenti;
- acutangolo - se possiede 3 angoli acuti;
- rettangolo - se possiede un angolo retto;
- ottusangolo - se possiede un angolo attuso;
La misura dell'area di un T. qualunque equivale al semiprodotto tra il lato di base e l'altezza ad esso relativa: A = ½ b · h. Alcuni T. particolari:
- T. mediano - T. costruito unendo i punti medi dei lati di un altro T.;
- T. ortico o T. di Schwarz - T. costruito unendo i piedi delle 3 altezze di un altro T.;
Per approfondire vedi le pagine sui triangoli.
TRIGONOMETRIA (TR) - dal greco: Τριγωνον (trigonon = triangolo) + μετρον (metron = misura), parte della matematica dedicata allo studio dei triangoli e degli angoli. Per approfondire vedi le pagine riguardanti la trigonometria.
TRINOMIO (AL) - POLINOMIO avente 3 termini; i T. sono importanti nell'ambito dei prodotti notevoli, in quanto possono esser il risultato del quadrato di un binomio oppure un T. speciale. Per approfondire, visita la pagina del sito dedicata al calcolo letterale.
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