Introduzione

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P

PARABOLA (GA) - Figura geometrica piana, appartenente all'insieme delle CONICHE, definita come luogo dei punti del piano per i quali è uguale la distanza da un punto chiamato Fuoco a quella da una retta chiamata Direttrice.
Nel piano cartesiano i punti appartenenti ad una P. avente asse di simmetria verticale verificano l'equazione canonica:

y = ax² + bx + c.

Per approfondire, visita la pagina del sito dedicata alla parabola.

PARALLELE (GE) - Due RETTE sono P. se sono complanari e hanno la stessa direzione; due rette P. possono esser:

• P. coincidenti - se hanno tutti i punti in comune tra loro;
• P. distinte - se non hanno alcun punto in comune tra loro.

PARALLELISMO di rette (GE) - proprietà per cui due rette sono tra loro parallele.

• Criterio di P. - due rette sono parallele se e solo se, tagliate da una trasversale, formano coppie di angoli alterni interni congruenti.

PARALLELOGRAMMA (GE) - figura geometrica piana definita come quadrilatero avente i lati opposti paralleli; da questa definizione scaturiscono le seguenti proprietà, caratteristiche distintive di un P.:

1. i lati opposti sono congruenti;
2. gli angoli opposti sono congruenti;
3. gli angoli consecutivi sono supplementari;
4. le diagonali in incrociano nel loro punto medio;
5. i 2 triangoli formati da ogni diagonali sono congruenti;
6. dei 4 triangoli formati dalle 2 diagonali quelli opposti sono congruenti;
7. le bisettrici degli angoli opposti sono parallele;
8. le bisettrici degli angoli consecutivi sono perpendicolari;

Un P. è un particolare TRAPEZIO avente i lati obliqui paralleli; inoltre casi particolari di P. sono: RETTANGOLI, ROMBI, QUADRATI.

PARAMETRO (AL, GA) - lettera presente all'interno di una espressione algebrica, un'equazione, una disequazione o una formula, che indica un valore numerico di cui non interessa inizialmente il valore effettivo; spesso ai P. vengono assegnati valori per studiare le proprietà o comportamenti dell'espressione risultante; altre volte si cercano opportuni valori del P. affinché l'espressione abbia determinate proprietà richieste.

PARTIZIONE di un insieme (IN) - suddivisione di un insieme in sottoinsiemi disgiunti (senza elementi in comune) che copre tutto l'insieme; ogni sottoinsieme della P. contiene almeno un elemento, non esistono elementi in più sottoinsiemi e non esistono elementi che non appartengono ad alcun sottoinsieme; quindi se A è l'insieme iniziale e se A₁, A₂, A₃ … sono i sottoinsiemi della P. possiamo scrivere in modo formale:

• A₁, A₂, A₃ … ≠ ∅
• A₁ ∪ A₂ ∪ A₃ ∪ … = A
• A _i ∩ A _j = ∅   ∀ A _i, A _j

Un esempio di una semplice P. di un insieme A è quella costituita da un qualunque sottoinsieme B e dal suo COMPLEMENTARE B.

PENTAGONO (GE) - figura geometrica piana delimitata da una spezzata chiusa e non intrecciata di 5 lati: è un POLIGONO che possiede 5 lati, 5 angoli, 5 diagonali. Per approfondire vedi le pagine sui poligoni.

PERIMETRO (GE) - Contorno di una figura, che ne delimita l'estensione. Il P. di un poligono si misura sommando le lunghezze di tutti i suoi lati.

PERPENDICOLARE o NORMALE (GE) - Due RETTE sono P. se sono complanari, incidenti e dividono il piano in 4 angoli retti. più in generale:

• una retta è P. ad una linea curva se è P. alla retta tangente alla curva nel punto d'intersezione con essa;
• una retta è P. ad un piano, se è P. ad ogni retta del piano che passa per il punto d'intersezione tra la P. e il piano;
• una retta è P. ad una superficie curva, se è P. al piano tangente a tale superficie nel punto d'intersezione con essa

PERPENDICOLARITÀ di rette (GE) - proprietà per cui due rette sono tra loro perpendicolari.

PIANO (GE) - Figura geometrica, concetto primitivo della geometria che possiede due dimensioni. Un P. contiene infinite rette e infiniti punti, che giacciono ugualmente rispetto a se stessi. A sua volta un P. è contenuto nello spazio. Per approfondire vedi le pagine sul piano in geometria.

PIANO CARTESIANO (GA) - Piano geometrico su cui è fissato un sistema di riferimento ortonormale: due rette perpendicolari chiamati assi cartesiani, una orizzontale e una verticale, che si incontrano in un nel punto chiamato origine; gli assi sono orientati (hanno un verso di percorrenza), graduate, e l'unità di misura fissata in una retta è uguale all'unità fissata nell'altra retta. Per approfondire vedi le pagine sul piano cartesiano.

POLIEDRO (GE) - Figura solida dello spazio a tre dimensioni, limitata da facce, spigoli e vertici: le facce sono figure geometriche del piano, gli spigoli sono segmenti, i vertici sono punti. Particolari poliedri sono i Solidi Platonici (vedi SOLIDO).

POLIGONALE (GE) - linea spezzata (formata dall'unione di segmenti a due a due consecutivi); una P. può esser:

• P. intrecciata - se i segmenti possono incrociarsi tra loro;
• P. non intrecciata - se non si intrecciano;
• P. aperta - se il primo segmento e l'ultimo non hanno estremi in comune;
• P. chiusa - se il primo segmento e l'ultimo hanno estremi in comune.

Una P. non intrecciata e chiusa con almeno 3 segmenti definisce al suo interno un poligono.

POLIGONO (GE) - parte di piano compresa all'interno di una poligonale non intrecciata e chiusa (con almeno tre segmenti). Per approfondire vedi le pagine sui poligoni.

• P. convesso - P. avente tutti gli angoli interni convessi;
• P. concavo - P. avente almeno un angolo interno concavo;
• P. regolare - P. avente tutti i lati congruenti tra loro e tutti gli angoli interni congruenti tra loro;
• P. inscrivibile in una circonferenza (GE) - se è possibile disegnare una circonferenza esterna al P. che passi per tutti i suoi vertici;
• P. circoscrivibile ad una circonferenza (GE) - se è possibile disegnare una circonferenza interna al P. che tocchi (in modo tangente) tutti i suoi lati

POLINOMIO (AL) - somma algebrica di MONOMI

• P. completo rispetto ad una lettera - se nei termini del P. compaiono tutte le potenze della lettera, dalla maggiore al termine noto;
• P. fattorizzabile o riducibile - se il P. può esser scritto come il prodotto di due o più P. di grado minore, chiamati fattori;
• P. irriducibile - se il P. non può esser scritto come il prodotto di due o più P. di grado minore;
• P. caratteristico di una matrice quadrata - data una MATRICE quadrata A, il P. caratteristico di A è il P. ottenuto calcolando il determinante della matrice (A – Ix), essendo I la matrice identità e x l'incognita del P.;
• grado di un P. - numero corrispondente grado massimo tra i gradi di tutti i monomi del P. (vedi grado di un MONOMIO).

POSTULATO (GE) - particolare ASSIOMA usato in ambito geometrico per introdurre o dimostrare teoremi.

• P. di Euclide - gruppo di 5 postulati che pongono le basi della geometria piana, presenti dell'opera "Gli Elementi" di Euclide (vedi pagina sulle figure geometriche).

POTENZA di un numero n (AR, AL) - risultato dell'operazione aritmetica di ELEVAMENTO A POTENZA avente per base il numero n, ad un determinato esponente.

PRIMITIVA di una funzione f(x) (AM) - funzione, indicata con F(x), che se derivata fornisce la funzione f(x); ogni funzione possiede infinite funzioni P., uguali a meno di una costante additiva; per calcolare l'insieme delle infinite P. di una funzione si utilizzano le regole degli integrali impropri.

PROBLEMA (AR, AL, GE, GA, TR, AM) - esercizio o questione matematica, in cui si ipotizza una situazione teorica (spesso verosimile) e, partendo da alcune informazioni note, chiamati dati o ipotesi del P., si cerca di determinare i valori numerici richiesti, le informazioni mancanti, chiamate soluzioni, o dimostrare ulteriori risultati, chiamati tesi del P.
Per arrivare alla soluzione finale si cercano di applicare operazioni e proprietà note, in un insieme di passaggi logici e sequenziali chiamati svolgimento del P.
Per arrivare alla tesi si seguono ragionamenti teorici, utilizzando proprietà e teoremi assunti veri in precedenza; l'insieme di passaggi logici e sequenziali è chiamato dimostrazione.

PRODOTTO (AR, AL) - risultato dell'operazione aritmetica di MOLTIPLICAZIONE tra due o più fattori. Proprietà del P.:

• Legge di annullamento del P. - se il P. è zero, allora almeno uno dei fattori è zero;
• Segno del P. - se vi è un numero pari di fattori negativi, il P. è un numero positivo; se al contrario vi è un numero dispari di fattori negativi, il risultato è negativo.

Alcuni esempi di P.:

• P. tra numeri naturali - numero corrispondente alla somma di tante volte il primo numero, quante ne indica il secondo;
• P. tra monomi - monomio ottenuto moltiplicando tra loro i coefficienti numerici del monomio e sommando gli esponenti delle lettere uguali dei due monomi (se una lettera non compare ha grado zero);
• P. tra polinomi - polinomio ottenuto moltiplicando tra loro tutti i termini di un polinomio per ciascun termine dell'altro polinomio, mediante varie moltiplicazioni tra monomi (vedi pagine su monomi e polinomi);
• P. notevole - scorciatoia algebrica che permentte di calcolare più rapidamente il P. tra polinomi in casi particolari (vedi pagina su prodotti notevoli);
• P. tra un vettore per uno scalare (AL, GE, GA) - vettore che si ottiene moltiplicando modulo del vettore dato per il numero scalare; se tale numero è negativo, il vettore P. ha verso opposto al vettore iniziale;
• P. scalare tra vettori (AL, GE, GA) - numero che si ottiene moltiplicando i moduli dei due vettori per il coseno dell'angolo tra essi compreso;
• P. vettoriale tra vettori (AL, GE, GA) - vettore, il cui modulo si ottiene moltiplicando i moduli dei due vettori per il seno dell'angolo tra essi compreso;

Per approfondire i P. tra vettori vedi la pagina del prodotto tra vettori.

PROGRESSIONE (AL) - Successione, sequenza di numeri o lettere che segue un ordine preciso, dato da un'espressione algebrica. Il termine generico di una P. si indica con x_n, mentre la somma dei primi n termini di indica con S_n.

• P. aritmetica - successione di numeri in cui, fissato il numero iniziale x₀, è sempre costante la differenza d (chiamata ragione) tra un termine e il suo successivo; le formule di una P. aritmetica sono:

  x_n = x₀ + d·n

  S_n = ½ (x₀ + x_n) (n + 1)

• P. geometrica - successione di numeri in cui, fissato il numero iniziale x₀, è sempre costante il rapporto q (chiamato ragione) tra un termine e il suo successivo; le formule di una P. geometrica sono:

  x_n = x₀ · d ⁿ

  S_n = x₀ · (1 – q ⁿ⁺¹) / (1 – q)

PROIEZIONE (GE, GA) - trasformazione del piano che associa ai punti di una figura i punti di un'altra figura (in genere di dimensione minore o uguale), mediante un fascio di rette parallele.

• P. su una retta r - dato un fascio di rette, tale P. associa (in modo non iniettivo) i punti del piano che appartengono ad una stessa retta del fascio, al punto di intersezione tra tale retta e la retta r;
• P. ortogonale - P. su una retta, dato un fascio di rette perpendicolari a tale retta;
• P. di un cateto sull'ipotenusa - segmento contenuto nell'ipotenusa avente per estremi l'estremo del cateto sull'ipotenusa e il piede dell'altezza relativa all'ipotenusa.

PROPORZIONE (AL) - uguaglianza tra due RAPPORTI. Una P. normalmente è composta da 4 termini:

a : b = c : d

I termini a e d sono chiamati esterni della P., mentre i termini b e c sono detti medi; inoltre a e c sono chiamati antecedenti, metre b e d conseguenti.
La proprietà fondamentale delle P. è che il prodotto tra i medi è uguale al prodotto tra gli estremi: ad = bc. Altre proprietà importanti delle P. quelle che trasformano una P. in un'altra:

• invertire → b : a = d : c
• permutare i medi → a : c = b : d
• permutare gli estremi → d : b = c : a
• comporre gli antecedenti → (a + b) : b = (c + d) : d
• comporre i conseguenti → a : (a + b) = c : (c + d)
• scomporre gli antecedenti → (a – b) : b = (c – d) : d
• scomporre i conseguenti → a : (a – b) = c : (c – d)

PROPOSIZIONE (LO, AL, GE) - Frase di carattere matematico, formata dall'unione di due o più affermazioni, legate tra loro da implicazioni o da coimplicazioni; in genere un P. serve ad introdurre nuove proprietà e nuovi risultati riguardo concetti definiti in precedenza, per mezzo di deduzioni logiche.
I TEOREMI sono importanti P. validate in genere da una DIMOSTRAZIONE.

PROPRIETÀ (AR, AL, GE, GA, TR, AM) - informazione riguardante un concetto o un ente matematico, utile per lo studio e la descrizione di tale concetto.

• P. caratteristica - P. naturale di un oggetto, che serve per definirlo in modo univoco, differenziandolo da oggetti diversi; normalmente una P. caratteristica è descritta nella definizione dell'oggetto;
• P. riflessiva di una relazione - una relazione gode della P. riflessiva se ogni elemento di un insieme è in relazione con se stesso;
• P. antiriflessiva di una relazione - una relazione gode della P. antiriflessiva se ogni elemento non può essere in relazione con se stesso;
• P. simmetrica di una relazione - P. per la quale se un elemento x è in relazione con un elemento y, allora anche y è in relazione con x;
• P. antisimmetrica di una relazione - P. per la quale se un elemento x è in relazione con un elemento y, e se anche y è in relazione con x, allora necessariamente x ed y coincidono;
• P. transitiva di una relazione P. per la quale se un elemento x è in relazione con un elemento y, e se y è in relazione con un elemento z, allora anche x è in relazione con z;
• P. commutativa - un'operazione (•) su un insieme A gode della P. commutativa se, presi due elementi a, b di A, allora:

  a • b = b • a

  ossia se cambiando l'ordine dei termini di tale operazione, il risultato non cambia;
• P. associativa - un'operazione (•) su un insieme A gode della P. associativa se, presi tre elementi a, b, c di A, allora:

  a • b • c = a • (b • c)

  ossia se cambiando la priorità di svolgimento dei calcoli da sinitra a destra o da destra a sinistra, il risultato non cambia;
• P. dissociativa - un'operazione (•) su un insieme A gode della P. dissociativa se, presi due elementi a, b di A, se a = a₁ • a₂, allora:

  a • b = a₁ • a₂ • b

  ossia se ogni termine può esser scomposto in termini minori, tramite la stessa operazione;
• P. distributiva - un'operazione (•) su un insieme A gode della P. distributiva rispetto ad un'altra operazione (⊕) se, presi tre elementi a, b, c di A, allora:

  a • (b ⊕ c) = (a • b) ⊕ (a • c;)

• P. invariantiva - un'operazione (•) su un insieme A gode della P. invariantiva se, presi tre elementi a, b, c di A, con c≠0, allora:

  a • b = (a • c) • (b • c)

  ossia se applicando la stessa operazione su entrambi i termini per una stessa quantità diversa da zero, il risultato non cambia.

PUNTO (GE, GA, AM) - Figura geometrica, concetto primitivo della geometria che non possiede dimensioni. Un P. non può contenere al suo interno altre figure, ma al contrario è contenuto in ogni altra figura geometrica. Per approfondire vedi la pagina di geometria sul punto.

• P. notevole (GE) - P. relativo ad un triangolo, incontro tra 3 diversi segmenti dello stesso tipo (vedi punti notevoli);
• P. medio di un segmento (GE, GA) - P. appartenente al segmento, equidistante dai suoi estremi;
• P. d'intersezione tra due figure (GE, GA) - P. appartenente ad entrambe le figure;
• P. di continuità di una funzione (AM) - una funzione è continua in un suo P. x₀ se:
  1. è definita in x₀ (il P. appartiene al Dominio);
  2. il limite della funzione per x → x₀ esiste ed è un valore finito;
  3. il limite della funzione per x → x₀ coincide con f(x₀);
• P. di discontinuità di una funzione (AM) - può esser di 3 tipi:
  1. di salto - se il limite da sx della funzione verso il P. è diverso dal limite da dx, di una differenza finita;
  2. asintotica - se il limite da sx della funzione verso il P. è diverso dal limite da dx, di una differenza infinita, o se uno dei due limiti non esiste;
  3. eliminabile - se il limite da sx della funzione verso il P. è finito e uguale al limite da dx, di una differenza finita, ma la funzione non è definita in tal P.;
• P. stazionario di una funzione (AM) - P. in cui la funzione è continua e derivabile, e in cui la derivata vale zero; un P. stazionario può esser:
  • di massimo - se in tale P. la funzione ha un valore maggiore o uguale rispetto a tutti gli altri punti;
  • di minimo - se in tale P. la funzione ha un valore minore o uguale rispetto a tutti gli altri punti;
  • di flesso a tangente orizzontale - se in tale P. anche la derivata seconda si annulla;
• P. di flesso di una funzione (AM) - P. in cui la funzione è continua e derivabile due volte, e in cui la derivata seconda vale zero.

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